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AREA DE SUPERFICIES
[pic]
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[pic]
[pic]
[pic]

[pic]
Se necesita que f(x,y) sea diferenciable en la región R de integración.

EJEMPLO
[pic]
Solución
[pic]

EJEMPLO
[pic]
Solución[pic]

EJERCICIO 1.

[pic]

CAMBIO DE COORDENADAS

Se quiere calcular [pic], se hace el cambio de coordenadas
[pic]
Entonces
[pic]
Además, la forma diferencial [pic] se debe sustituirpor [pic] donde r es el jacobiano de la transformación [pic], [pic]
[pic]
La región de integración
[pic]
Finalmente se tiene
[pic]

EJEMPLO
[pic]
Solución

[pic]
[pic]
[pic]

EJERCICIO2.

[pic]
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES
[pic]
si la lámina no es plana, su masa se calcula así
[pic]
EJEMPLO

[pic]

Solución

[pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic]

PRIMERMOMENTO

Mide la tendencia de la masa a resistirse al cambio de movimiento rectilíneo.

momento con respecto al eje x: [pic]
momento con respecto al eje y: [pic]

CENTRO DE MASA
[pic]

SEGUNDOMOMENTO O MOMENTO DE INERCIA

Mide la tendencia de la masa a resistirse al cambio de movimiento rotatorio.

[pic]

RADIO DE ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE

[pic]

EJEMPLO
[pic]
[pic]Solución
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
El radio de giro con respecto al eje x

[pic]
[pic]
entonces [pic]

EJERCICIO 3

[pic]

EJERCICIO 4
[pic]

INTEGRALES TRIPLES
[pic]
[pic]

[pic]EJEMPLO
[pic]
Solución
[pic]

EJEMPLO
[pic]
Solución
[pic]

A partir de la gráfica de la región de integración se tiene
[pic]
[pic]

CAMBIO A COORDENADAS ESFÉRICAS
[pic]
EJEMPLO
[pic]Solución
[pic]

[pic]
[pic]
[pic]
EJERCICIO 5
[pic]

EJERCICIO 6: CAMBIO DE VARIABLE, COORDENADAS POLARES

1. Calcular la integral [pic] donde la región R esta dada por
[pic]

2.El valor de la integral [pic], donde R es la región acotada por el círculo x2 + y2 = 4 entre y = 0 , y = x en el primer octante es:

a) 4( / 3 b) -2( / 3 c)...
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