Aritmetica y Algebra

MATEMÁTICAS I 1.

SOLUCIONES de EXAMEN Aritmética y Álgebra

1 / 12/ 2010

a) Simplifica la siguiente expresión:

log a log 1

3

a

+ log a 3log a = 3 !1 2 1+ 1 2 1 2 = = !6

log alog 1

3

=

3log a log1 ! log a + 1 2 log a

=

a

+ log a

(!1 + ) log a 2

1

b) Realiza la siguiente operación y racionaliza el resultado:

1! 1 2 1 2 = 1! 1 2 = 1 2 2 +1 2 2 !12 4+2 3 ! 4!2 3 =2 = 2 +1 2 !1 = ( 2 + 1)( 2 + 1) ( 2 ! 1)( 2 + 1) =

1+ 1!

1+

2+1+2 2 2!1

= 3+2 2

c) Comprueba que

Comprobaremos que el cuadrado de la primera parte es el cuadradode la segunda

( 4+2 3 !

4 !2 3)

2

= 4 + 2 3 + 4 ! 2 3 ! 2 4 + 2 3· 4 ! 2 3 = = 8 ! 2·2 = 4

8 ! 2 (4 + 2 3)(4 ! 2 3) = 8 ! 2 16 ! 12

2.

a) Opera y simplifica:

" x 2 ! 4 x 2 + 2x% 2 $ x + 1 : x 3 ! x ' ! ( x ! 3x + 5) # &
( x ! 4)( x ! x )
2 3

"x !4 x $ x +1 : x #
2

2

+ 2x %
3

!x

' &

! ( x ! 3x + 5) =
2

( x + 1)( x + 2x )
2

! ( x ! 3x + 5) =
2( x + 2)( x ! 2) x ( x + 1)( x ! 1) ( x + 1) x ( x + 2)

! ( x ! 3x + 5) = ( x ! 2)( x ! 1) ! ( x ! 3x + 5) = x ! 3x + 2 ! x + 3x ! 5 = !3
2 2 2

2

b) Resuelve la siguiente ecuación : 3x5 –4x4 -5x3 + 2x2 = 0 Factorizamos el polinomio x2(x - 2)(x + 1)(3x – 1)= 0 Soluciones: x ; 0 (doble), 2, -1 y 1/3

3.

"x ! 2y + 2z = 1 $ a)Resuelve # 2x ! y ! z = 0 $ 3x + 2z = 2 %
Solución: z=1/2

= 2ª +1ª·(!2) 3ª +1ª·(!3)

"x ! 2y + 2z = 1 $ # 3y ! 5z = !2 $ 6y ! 4z = !1 %

" x ! 2y + 2z = 1 $ 3ª +2ª (!2) # 3y ! 5z = !2 $ 6z = 3 %

y =(-2+5/2)/3 = 1/6

x= 1 + (2/6) – (2/2) = 1/3"2 x + 1 = y + 1 $ b)Resuelve # $ x ! 2y + 2 = 0 %
2

sustitución : x = 2y ! 2
2 2y ! 2 + 1 = y + 1

! > 2 2y ! 1 = y + 1
y=1

! > 4(2y ! 1) = y + 2y + 1  8y -4 – y2 -2y – 1 = 0  y2 – 6y+ 5 = 0  y = 5
Soluciones: x = 8 y = 5 / x = 0 y = 1

4.

a) Determina los intervalos solución de: 1ª Inecuación : 4x + 7- x2 -2 ! 0
2

# 4x + 7 ! x 2 " 2 $ % 2 ! 3x > !1
2ª Inecuación 2...