Arquimidez

Arquímedes: Determina la relación entre la circunferencia y el diámetro del circulo. Empleando un método de aproximación de áreas, por medio del aumento progresivo de los lados de un polígono inscrito o circunscrito en un círculo, demostró Arquímedes que para un polígono de 96 lados, el valor oscila entre 3 10/70 y 3 10/71. Su valor aproximado en nuestros libros escolares es de 3.1416.
En laintroducción de su obra “El contador de Arena”, Arquímedes sienta las bases de una terminología que permite representar un numero de cualquier magnitud. Fue además, el primero que determino el área el área de una elipse, por medio de la formula A= ab , en la cual a y b representan los semiejes de la elipse. Arquímedes contribuyó notablemente al estudio de la estereometría, o geometría sólidahabiendo establecido, entre muchas otras cosas la relación que existe entre.
Los volúmenes del cono, la semiesfera, y el cilindro, la cual se expresa:
V1: V2 y V3= a 1/3
r3: 2/ 3
r3:
r3= 1: 2: 3
Eudoxo: Esta relación es cierta cuando el área de la base del cilindro y el cono es igual al área del círculo máximo de la semiesfera, y sus alturas iguales al radio de la misma. El método deaproximación usado por Arquímedes establecía el concepto matemático del límite, el cual sirvió posteriormente en el siglo XVIII, para el desarrollo del cálculo infinitesimal.
Probablemente se tiene una idea intuitiva de que el área de una figura geométrica es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada por dicha figura. El área de un polígono puede definirse como la suma de las áreas de lostriángulos en que puede ser descompuesto y se puede demostrar que el área obtenida es independiente de cómo se descompuso el polígono en triángulos. Esta idea de trabajo es muy antigua y fue propuesta por primera vez por el sabio griego Antifón alrededor del año 430 a.C. y se conoce como el "método del agotamiento".
Un problema mucho más difícil es hallar el área de una figura curva. El métodogriego del agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a ella, aumentar el número de los lados de los polígonos y hallar el área buscada. Eudoxo consiguió de esta manera encontrar la fórmula para calcular el área de un círculo. Teniendo en cuenta el uso del método dado por Eudoxo, se lo conoce como método de exhaución de Eudoxo y el mismo fueempleado tiempo después por Arquímedes para resolver problemas de este tipo.
Hasta aquí tenemos una idea intuitiva de lo que es el área de una región y que, calcular áreas de regiones con lados rectos resulta sencillo. Sin embargo no es fácil hallar el área de una región limitada por lados que son curvos. También podemos observar, sin mayores inconvenientes que:
El área de una región plana es unnúmero (real) no negativo,
Regiones congruentes tienen áreas iguales,
El área de la unión de dos regiones que se superponen sólo por un segmento es la suma de las áreas de las dos regiones y
Si una región está contenida en una segunda el área de la primera es menor o igual que el área de la segunda.
El área de un círculo, es la medida de la superficie limitada por la circunferencia perimetraldel círculo dado.
El área del círculo se deduce sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir:

Si se considera la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, entonces el apotema coincide con el radio de la circunferencia y el perímetro con la longitud de la circunferencia. Portanto el área interior es:

Cálculo del área de un círculo
Las integrales están directamente relacionadas con el cálculo de áreas de funciones, siendo nuestra herramienta fundamental en el cálculo del área del círculo.
Las funciones y son monótonas y acotadas en el intervalo, por lo que cada una es integrable en ese intervalo.
El área comprendida entre y es el área del círculo, y se...