automatizacion

Factorizaciones, procesos y algoritmos de solución
iterados para sistemas de ecuaciones lineales


Resumen
En este trabajo se pretende dar algunos m´todos diferentes para factorizar
e
matrices que puedan ser algorimizables en un computador, usando lenguajes
como Matlab, el lenguaje C o el Fortran. (en este caso, se implementar´n
a
en lenguaje de matlab). Tambi´n se trata de hacer unpeque˜o comentario a
e
n
cada m´todo visto.
e
Palabras clave: ´lgebra lineal, matlab, algoritmo, matem´ticas, computaci´n.
a
a
o

´
Indice
1. Introducci´n
o

3

2. Eliminaci´n gaussiana con sustituci´n hacia adelante
o
o

3

3. Factorizaci´n LU
o

5

4. Factorizaci´n LUD
o

8

5. Factorizaci´n PA=LU
o

10

6. M´todo iterativo de Jacobi
e

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1

7. M´todoiterativo de Gauss-Seidel
e

14

8. Proceso de Gram-Schmidt

16

9. Factorizaci´n QR
o

17

2

1.

Introducci´n
o

En la vida real, muchas veces podemos obtener respuestas a problemas las cuales
vienen expresadas en forma de sistema de ecuaciones lineales de la forma Ax = b.
Cuando la matriz es peque˜a no hay mucho problema, porque podemos proceder de
n
forma manual (conl´piz y papel) a solucionar dichos sistemas (usando los m´todos
a
e
conocidos). Pero, tendremos problemas para dar solucion a sistemas los cuales se
expresan por matrices en orden mn siendo m y n muy grandes. La forma manual es tendiosa, engorrosa y propensa a errores de c´lculo. Es en estos casos que
a
necesitamos ayuda herramienta computadora para que pueda (por medio de ciertas
t´cnicas)dar soluci´n a estos sistemas de ecuaciones. As´ es como es este trabajo
e
o
ı,
se encarga de esas t´cnicas de operar que se repetir´n (iterar´n) encontrar con
e
a
a
la soluci´n final (nosotros llamaremos a estas t´cnicas algoritmos iterativos).
o
e

2.

Eliminaci´n gaussiana con sustituci´n hacia adeo
o
lante

Este m´todo se basa en el m´todo del gran matem´tico Gauss 1 . Estem´todo,
e
e
a
e
por ser de dominio general y adem´s ser una de las primeras t´cnicas aprendidas
a
e
en cualquier curso de ´lgebra lineal, no ser´ mostrado aqu´ (pero su algoritmo s´
a
a
ı
ı).
Los pasos para solucionar cualquier sistema de matrices (que tenga soluci´n) v´
o
ıa
el m´todo de gauss es el siguiente:
e
1. Se procede a colocar la matriz Amn de forma ampliada (con su vectorlibre de
variables).
2. hacemos i = 1.
3. Dividimos la toda la fila i por el valor de aij (siendo j el primer elemento
diferente de cero en dicha fila).
4. Igualamamos la fila siguiente con el resultado de la resta entre a(a+1) j − aaj
(siendo j el primer elemento diferente de cero en dicha fila).
5. Sumamos uno a i, siendo este el nuevo valor de i
1

Johan Karl Friedrich Gauss, 1777-1855,fue uno de los m´s grandes matem´ticos de la
a
a
historia. Realiz´ trabajos importantes en casi todas las ramas de la matem´tica, incluyendo el
o
a
c´lculo, la teor´ de los n´meros y la geometr´ adem´s de efectuar trabajo fundamental en la
a
ıa
u
ıa,
a
f´
ısica (la unidad de flujo magn´tico lleva su nombre). Entre sus logros m´s famosos est´n las
e
a
a
demostraciones del teoremafundamental del ´lgebra (que toda ecucaci´n algebraica tiene por lo
a
o
menos una ra´ y el teorema fundamental de la aritm´tica (que todo entero puede representarse
ız)
e
como el producto de n´meros primeros en una y solamente una manera.
u

3

6. Repetimos el procedimiento desde el paso 3 hasta hacer que i = m
De esta hacemos de Amn una matriz triangular superior. Las soluciones sehallan
igualando los coeficientes a la columna del resultado.
Ahora, mostraremos la implementaci´n del m´todo de Gauss utilizando como
o
e
lenguaje a Matlab, utilizando regresi´n progresiva (hacia adelante).
o
% Programa para la eliminacion gausiana
% con sustitucion hacia adelante.
%%
% Factorizamos la Matriz [A b]
function X=elimgau(A,b)
clc
[m n]=size(A);
disp(’"Eliminacion...