Autovectores

Autovalores y Autovectores


Sea una A una matriz n x n.

1. Un escalar ( se dice autovalor de T si existe un vector columna no nulo unx1 tal que Au = (u.
2. Dado un autovalor( de una matriz Anxn. Un vector columna unx1, nulo o no, se dice autovector de A asociado al autovalor ( de A, si Au = (u.


Notas:

a. Sinónimos de autovalor son las palabrasvalor propio y eigenvalor y sinónimos de autovector son vector propio y eigenvector.
b. En la definición de autovalor se debe notar que se necesita que exista un autovector no nulo asociado, peroluego que se establece que un escalar ( es un autovalor, se admite al vector nulo como autovector asociado a tal autovalor. La razón de esto es la siguiente: si en la definición de autovalor seprescinde de requerir que el vector u sea no nulo, entonces todo escalar sería autovalor de A, cuestión que se quiere evitar, pues de ser así, para todo escalar ( la condición Au = (u, es satisfechaal menos por el vector nulo: T(0U) = 0U = (0U.

Ejemplos:

1. Para la matriz nula Onxn el único autovalor es ( = 0, pues para todo vector columna no nulo unx1, vale Ou = 0nx1 = 0u ytodo vector u en U es un autovector de la matriz O asociado al autovalor 0.

2. Para la matriz Inxn el único autovalor es ( = 1, pues para todo vector columna no nulo unx1 valeIu = u = 1u y todo vector u en U es un autovector de I asociado al valor propio 1.


3. Sea A = [pic].

De [pic][pic]=[pic]= 2[pic], se sigue que 2 es autovalor deA y


[pic] autovector de A asociado al autovalor 2.


[pic][pic]=[pic]= (-4) [pic] ( -4 es autovalor de A y [pic]


autovector de A asociado al autovalor-4.


[pic][pic]=[pic]= 6 [pic] ( 6 es autovalor de A y [pic]


autovector de A asociado al autovalor 6.

Dejemos de lado por un momento los ejemplos para explicar...