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Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Industrial

Profesor Auxiliares

: :

Ronald Fischer Klaus Kaempfe, Sofía Moroni Carlos Ramirez, Diego Vega

Auxiliar No 8
Problema 1 (Un problema de agencia en duopolio) Suponga una industria de un bien homogéneo en la que compiten dos firmas, 1 y 2. La demanda viene dada por p = 2 − Q, donde Q y prepresentan la cantidad total vendida y el precio, respectivamente. Sea qi la cantidad vendida por cada firma. Sean Ri y πi los ingresos y las utilidades de cada firma, respectivamente. El costo unitario de producción es c = 1. Las firmas compiten en cantidades. Los dueños de las empresas contratan gerentes y les ofrecen un esquema de bonos de compensación Mi , definidos como: Mi = µi [αi πi + (1 −αi )Ri ] αi , µi ∈ [0, 1]

Este es un juego en dos etapas. En la primera, los empresarios eligen αi ,µi para maximizar sus utilidades. En la segunda etapa del juego, los gerentes eligen las cantidades a vender de manera de maximizar su ingreso. Las utilidades de las firmas (πi ) son el ingreso menos los costos. A los dueños les interesan las utilidades menos el pago a los gerentes. a) Encuentre lasfunciones de reacción de las ventas de las compañías (segunda etapa). b) Encuentre el equilibrio: precios, ventas y utilidades de cada firma. c) Encuentre el valor óptimo de Mi para los dueños (primera etapa). d) Usando el valor anterior, encuentre las funciones de reacción αi de cada dueño y utilícelas para encontrar el equilibrio entre los dueños. e) ¿Por qué es bueno para una firma el introducirun esquema en que se da un premio por ingreso, y no sólo por utilidades? Solución

a) Cada gerente i esto es

i ∈ 1, 2 resuelve m´x µi [αi πi + (1 − αi )Ri ] a
qi

m´x µi [αi (qi (2 − qi − qj ) − cqi ) + (1 − αi )qi (2 − qi − qj )] a
qi

j=i

m´x µi [qi (2 − qi − qj ) − αi cqi ] a
qi

j=i 2 − qj − αi c 2

CPO: µi (2 − 2qi − qj − αi c) = 0 b) ⇒ qi =

(1)

2 − qi − αj c ⇒ qi =2 − 2qj − αj c 2 Buscamos el equilibrio de Nash, igualando (1) y (2): qj = 2 − qj − αi c 2 − 2αj c + αi c = 2 − 2qj − αj c ⇒ qj = , 2 3 qi = 2 − 2αi + αj 3

(2)

1

De aquí derivamos la demanda y las ganancias: (4 − αj c − αi c) 2 + αj c + αi c p=2− = 3 3 πi =
c=1

=



2 + αj + αi 3

2 + c(αj + αi − 3) 2 + αj c + αi c 2 − 2αi + αj 2 − 2αi + αj · −c = · (2 − 2αi c + αj c) 3 3 3 9c=1

=



αj + αi − 1 · (2 − 2αi + αj ) 9

c) Los dueños resuelven, sabiendo cómo actuarán los gerentes:
αi ,µi

m´x πi − µi [αi πi − (1 − αi )Ri ] a

m´x a
αi ,µi

(1 − µi )

2 + αj + αi 2 − 2αi + αj 2 − 2αi + αj · −(1 − µi αi ) 3 3 3
p·q cq

m´x a
αi ,µi

(1 − µi )(2 + αj + αi ) − (1 − µi αi )3 2 − 2αi + αj · 3 3 (αj + αi − 1) − µi (2 − 2αi + αj ) · (2 − 2αi + αj ) 9m´x a
αi ,µi

Es decir Mi será tal que αi , µi resuelven el problema de optimización anterior. d) Como la función que maximizan los dueños es lineal en µi y se tiene que (2 − 2αi + αj ) = 3qi ≥ 0, tendremos que los dueños elegirán µi = 0 además, la CPO será: (αj + αi − 1) 1 (2 − 2αi + αj ) − 2 =0 9 9 De (3) tendremos: αi = Luego, 4 − αj 4 = 4 − 4αj ⇒ αj = = αi 4 5 e) Las ganancias de las firmasen este caso serán: πi = (8/5 − 1)(2 − 4/5) = 0,6 ∗ 1,2/9 = 0,08 9 4 − αj 4 (3)

es decir serán menores que en el caso de competencia Cournot. Sin embargo, este tipo de bonos hacen que el gerente quiera abarcar una mayor porción del mercado que lo que abarcaría si su sueldo fuera proporcional a las ganancias. Esto muchas veces es deseable para las empresas por diversas razones. Puede ser, porejemplo que al tener una mayor porción del mercado tengan mayor poder de mercado, para negociar por ejemplo con los proveedores y así disminuir costos (lo cual no está modelado en este problema). Problema 2 Considere el mercado de los trajes de baños de lana, el que tiene una función de demanda inversa dada por p(q) = 100 − q. La función de costos del monopolio es C(q) = q 2 + 10q a) Si la firma...
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