Axioma del supremo

Axioma del Supremo

Richard Alexander Quiñones Gutierrez

richard_uni18@hotmail.com

Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú.

30 de junio de 2009

Resumen

Se estudian varios métodos para construir los números reales manteniendo los axiomas que definen a los racionales y uno adicional que puede ser cualquiera de los siguientes:

Propiedad de continuidadPrincipio de intervalos cerrados encajados
Axioma del supremo
Cortaduras de Dedekind
Axioma de completitud

Además se demuestra la equivalencia entre cada una de estas construcciones.

Palabras Claves: Números reales, Cortaduras, Sucesiones, Conjuntos.

1. Introducción.

Nuestro interés por realizar este trabajo se debe a que pensábamos que conocíamos los números reales, perodefinitivamente estábamos equivocados, pues no nos imaginábamos ni remotamente su origen. Con nuestro comienzo en la universidad se nos abrieron numerosas puertas al conocimiento matemático, entre ellas esta el conocer que R surge a partir de los huecos de Q y que existen diferentes manera de definirlo.
Se atribuye a los pitagóricos la expresión "Todo es número". La Escuela Pitagórica fue la primeraescuela matemática griega. Antes de ellos se había acumulado una buena cantidad de conocimiento matemático debido a culturas tales como la egipcia y la babilónica; conocimiento con el que entran en contacto los griegos por medio de los viajes de Tales de Mileto y, luego, del propio Pitágoras. Este contacto significa para la matemática de la época un enorme salto conceptual pues, de una matemáticadedicada en lo esencial a la solución de problemas de tipo practico, se pasa a una matemática interesada en los conceptos y las relaciones que ellos ocultan, es decir una matemática teórica. A partir de Tales y Pitágoras, la matemática griega evoluciona por caminos de alta complejidad que, paradójicamente, se estructuran alrededor de una disciplina común: la geometría. Es así como en el siglo IIIa.c., mas de doscientos años después de Tales y Pitágoras, aparece un texto de importancia capital para la historia de la matemática: los "Elementos" de Euclides, esfuerzo totalitario de recolección del saber matemático acumulado hasta la época; dotado de un enorme sentido pedagógico que llevo desde su creación a separarlo en trece volúmenes.
¿Como congeniamos estas ideas, aparentemente dispersas, enuna sola disciplina conceptual? Podemos dar un ejemplo si retomamos la idea pitagórica original "Todo es número", idea que para los propios pitagóricos tenia un sentido tan profundo que adquiría características sagradas. En este sentido, Pitágoras viene a ser el predecesor original de Leopold Kronecker, el matemático que afirmo que "Dios creo los números enteros, lo demás lo hizo el Hombre",porque cuando un pitagórico hablaba de número lo que tenia en mente específicamente era un número racional.
Esto lo podemos ver claramente en "Los Elementos "de Euclides Def.V II,1 y
Def.V II,2. La primera dice que una unidad es aquello en virtud de lo cual cada una de las cosas que hay es llamada una y la segunda afirma que un número es una pluralidad compuesta de unidades. Definiciones losuficientemente restrictivas para separar el concepto de unidad del concepto mismo de número: una unidad no es un número, es el ente que constituye a los números.
La visión pitagórica del número como la sustancia constitutiva del Universo, condujo a otra creencia que juega un papel importante en el desarrollo del tema que nos ocupa: la absoluta conmensurabilidad de los segmentos, es decir, la existenciade una medida común para dos segmentos distintos cualesquiera. También se asigna a los pitagóricos el descubrimiento del teorema que lleva su nombre el cual, entre otras muchas cosas, conduce a una importante proporción: el cuadrado construido sobre la diagonal de un cuadrado es al cuadrado original como 2 es a 1.
Ahora bien, esta proporción trae como consecuencia inmediata una interrogante:...