Axioma del supremo

El conjunto de los números racionales Q cumple con la propiedades de cuerpo
y de orden que se cumplen en R, sin embargo en tal conjunto no podemos dar
respuesta a la existencia de un número para el cual se cumpla
x2 = 2
es por eso que necesitamos dar otro axioma en R, antes debemos introducir
algunas definiciones.
Sea S R, definimos:
Definición 0.1.1 Se dice que un número real a es cotainferior de S si a  s
para todo s 2 S. Si existe alguna cota inferior para S diremos “S está acotado
inferiormente”.
Definición 0.1.2 Se dice que un número real b es cota superior de S si b  s
para todo s 2 S. Si existe alguna cota superior para S diremos “S está acotado
superiormente”.
Definición 0.1.3 Si S es acotado superior e inferiormente diremos que es un conjunto
acotado.
Ejemplo0.1.4 Sea S = ]1,3[[[4,5] entonces a = 2 es cota inferior para S. En
efecto, si s 2 S entonces 1 < s < 3 _ 4  s  5 se sigue 2  s sea cual sea el
s 2S. Similarmente a = 1.5, a = 3, a = 1 son cotas inferiores de S. a = 7=2
no es cota inferior de S pues existe un elemento de S (por ejemplo s = 1) que es
estrictamente menor que a.
Al encontrar una cota inferior, de inmediato podemos decir queel conjunto
es acotado inferiormente, note también que si a es una cota inferior de un conjunto
S entonces todo j a también será cota inferior.
Ejemplo 0.1.5 Sea A =
¦
x 2R: x = 1
n para algún n 2N
©
=
¦
1, 1
2 , 1
3 , ...
©
. b = 2 es
una cota superior para A pues si n 2 N entonces n  1 de donde obtenemos
1 1=n para cada n 2N, se sigue que cualquier elemento del conjunto esmenor
que 1 y así menor que 2. 1 también es cota superior. Ningún número menor que
1 es cota superior, ya que 1 2A.
Al encontrar una cota superior, de inmediato podemos decir que el conjunto
es acotado superiormente, note también que si b es una cota superior de
un conjunto S entonces todo b0 con b b0 también será cota superior.
Definición 0.1.6 Un número realm se dice mínimo de un conjunto Ssim 2S y
m s para todo s 2S. Se escribe entoncesm = min(S).
Matemática 1 (MAT021) 1 versión preliminar
Prof. Nelson Cifuentes F.
Definición 0.1.7 Un número real M se dice máximo de un conjunto S si M 2S
yM s para todo s 2S. Se escribe entoncesM = max(S).
Ejemplo 0.1.8 Sea A = [0,1] entonces m = 0 es un mímino, pues 0 2 A y para
cada x 2 A se tiene 0  x. Note que a = 1 es cota inferiorpero no es el mínimo
porque no esta en el conjunto. En este mismo ejemplo M = 1 es máximo de A,
1 2A y para cada x 2A se cumple x 1.
Ejemplo 0.1.9 Sea A = [1,5[ entonces m = 1 es un mímino, pues 1 2 A
y para cada x 2 A se tiene 1  x. Este conjunto no tiene máximo, note que
5 62 A pero se cumple x < 5 para cada elemento en el conjunto, es decir 5 es cota
superior pero no esta en el conjunto,ningún número mayor que 5 puede ser el
maximo al no estar en el conjunto, si 1 < b < 5 entonces el elemento b+5
2 2 A
y b < b+5
2 luego b no es máximo. Claramente si b  1 no puede ser el máximo
basta tomar 2 2A para tener una contradicción.
Si el máximo existe entonces es único: Si M1 y M2 son dos máximos del
conjunto S entonces se sumple que M1 2S y M2 2S pero al ser M1 un máximo
enparticular se cumple para cada s 2 S, s  M1 en particular para s = M2 se
tiene
M2 M1
similarmente, al serM2 un máximo se cumple
M1 M2
de ambos se obtieneM1 =M2.
Definición 0.1.10 Un número real a se dice infimo de un conjunto S si es la
mayor de las cotas inferiores de S. Es decir, si a  s para todo s 2S y cada a0 > a
no es cota inferior de S, verificándose que a0 > s 0 para algún s 0 2S .En este caso
se escribe a = inf (S).
Definición 0.1.11 Un número real b se dice Supremo de un conjunto S si es la
menor de las cotas superiores de S. Es decir, si s b para todo s 2S y cada b0 sup(A) entonces j <
sup(A), de la definición de supremo se sigue que debe existir un elmento
a0 2A tal que
j < a0 < sup(A)
se sigue que
j > a0 > sup(A)
luego cualquier número mayor que sup(A) no...