Axiomas De Peano

1. Los axiomas de Peano:

Se define el conjunto N de los números naturales como un conjunto que verifica las cinco condiciones siguientes:

1) Existeun elemento de N al que llamaremos cero (0), esto es,

0 ε N

2) Existe la llamada función siguiente φ : N → N :

Para toda n ε N, φ(n) ε N

3) Elcero no es imagen por la función:

Para toda n ε N, φ(n) ≠ 0

4) La función es inyectiva:

n,m ε N, φ(n) = φ(m) → n = m

5) Se verifica elprincipio de inducción matemática:

1) 0 ε A
→ A = N
2) Para toda n ε A → φ(n)ε N

Resumiendo lo que afirman estos postulados o axiomas, podemos entender que se trata de un conjunto que tiene un elemento, el cero (Axioma.1), que noes sucesor de ningún otro (Axioma. 3), es decir, se trata del primer elemento del conjunto, y todos los demás elementos tienen cada uno un elemento sucesor(Axioma. 2), de modo que dos elementos distintos tienen sucesores distintos (Ax.4). El quinto postulado es de suma importancia por dotarnos de un métodode demostración de propiedades, ya que nos indica que todo conjunto A al que pertenezca el cero, y tal que todo elemento de A tiene sucesor en A,necesariamente ha de coincidir con el conjunto N de los números naturales. Es lo que se acostumbra a denominar método simple de inducción matemática.

A partir deestas cinco condiciones, y usando sistemáticamente el quinto axioma, de la inducción matemática, podemos probar todas las propiedades del conjunto N.