Axiomas De Peano

´ ALGEBRA SUPERIOR II ´ ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NUMEROS NATURALES
TITULAR: DR. CHRISTOF GEISS. AYUDANTE: FRANCISCO BARRIOS Abstract. En la presente nota caracterizamos axiom´ticamente a los natua rales e introducimos el esquema general de la teor´ de conjuntos y del sistema ıa de axiomas de Zermelo-Fraenkel.

Los axiomas de Peano. En contraste con Dedekind, Peano no estaba interesado en unaconstrucci´n de los n´meros naturales que partiera de la teor´ de o u ıa conjuntos sino en su axiomatizaci´n desde el punto de vista de un lenguaje formal, o es decir, uno trataba el problema desde la perspectiva de la teor´ de conjuntos ıa mientras que otro lo abordaba desde la l´gica matem´tica. o a Originalmente (1889) eran nueve los axiomas que Peano present´ en su obra o Arithmeticesprincipia nova methodo exposita. Despu´s de an´lisis m´s profundos e a a por parte de otros matem´ticos y de la eliminaci´n de aquellos postulados que a o pod´ deducirse a trav´s de los otros nos han llegado los cinco axiomas para los ıan e conceptos b´sicos N, 0 y S que se utilizan hoy : a (P1) (P2) (P3) (P4) (P5) 0 ∈ N. Si n ∈ N entonces S(n) ∈ N. Si n ∈ N entonces S(n) = 0. Si 0 ∈ E ⊆ N y si [n ∈ E ⇒S(n) ∈ E] entonces N ⊆ E. Si m, n ∈ N entonces [S(m) = S(n) ⇒ m = n].

Interpretados en t´rminos de la teor´ de conjuntos, estos axiomas equivalen a la e ıa definici´n de los n´meros naturales dada en la nota de clase (1); e.g. (P 4) equivale al o u axioma (3) de la definici´n que a su vez equivale al Principio de Inducci´n Completa. o o De esta manera las definiciones conjuntistas de n´meronatural dadas por Zeru melo en 1908 y por von Neumann en 1923 —cada una con su respectiva funci´n o sucesor— satisfacen los axiomas de Peano y en todo caso proveen un modelo adecuado de los n´meros naturales de los cuales, por otro lado, ya vimos que son u esencialmente unicos. ´ Sistema axiom´tico de la teor´ de conjuntos. En 1893 el fil´sofo alem´n a ıa o a Gottlob Frege dio en el primer volumen de suobra Grundgesetze der Arithmetik un sistema de axiomas para la teor´ de conjuntos ideada por Georg Cantor, con ıa la intenci´n de proveer una base l´gica para la matem´tica. Entre dichos axiomas o o a hab´ uno que (en lenguaje moderno) dec´ ıa ıa: Axioma de comprehensi´n: Para toda propiedad P existe un o conjunto MP que contiene a todos y exclusivamente a todos los conjuntos que satisfacen lapropiedad P .
Date: March 7, 2005.
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TITULAR: DR. CHRISTOF GEISS. AYUDANTE: FRANCISCO BARRIOS

Actualmente escribir´ ıamos: MP := { x | x es un conjunto y x satisface P } ¿Qu´ sucede cuando uno escoge P como la propiedad: “no ser un elemento de s´ e ı mismo”? De acuerdo con el axioma de comprehensi´n existe un conjunto: o MP := { x | x es un conjunto y x ∈ x } / ¿Es MP un elemento de s´mismo? Si respondemos afirmativamente, i.e. si MP ∈ ı MP entonces por definici´n MP es un conjunto y MP ∈ MP . Si respondemos o / negativamente, dado que MP es un conjunto y MP ∈ MP por definici´n tenemos / o que MP ∈ MP ; es decir, llegamos en ambos casos a que: MP ∈ MP ⇐⇒ MP ∈ MP (una contradicci´n). / o Fue Bertrand Russell quien en 1901 descubri´ esta inconsistencia 1 del axioma de ocomprehensi´n y a la que usualmente se le conoce como paradoja de Russell. Posteo e a a riormente fueron ´l, Zermelo, Hilbert y muchos matem´ticos m´s quienes trataron de reparar los conceptos de la teor´ de conjuntos demolidos tras la ca´ de los ıa ıda axiomas de Frege. A continuaci´n presentamos el sistema axiom´tico Zermeloo a Fraenkel considerado por los especialistas en teor´ de conjuntos de hoy en d´ ıaıa como consistente. Cabe hacer notar que hasta la d´cada de los veinte se cre´ posie ıa ble una demostraci´n de la consistencia del sistema de axiomas deducida a partir o de s´ mismo; sin embargo en 1931 Kurt G¨del demostr´ que esto no era posible. ı o o Ex. El axioma de existencia: Existe un conjunto.2 Ext. El axioma de extensi´n: Dos conjuntos son iguales si y s´lo si tienen los o o mismos...