Axiomas de peano

Axiomas de Peano
Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas para la aritmética introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Los axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios para una variedad de investigaciones metamatemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de números.
Los axiomas de Peano rigen laestructura números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor. Los cinco axiomas de Peano son:
1. El 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 1 no es el sucesor de ningún númeronatural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A es precisamente el conjunto de todos los números naturales. Éste es el axioma de inducción
Hay undebate sobre si considerar al 0 como número natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se lo necesita o no. Cuando se resuelve incluir al 0, entonces deben hacerse algunos ajustes menores:
1. El 0 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 0 no es el sucesor de ningún número natural.
4.Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.
Presentación formal
Como se dijo anteriormente, existe un debate sobre si incluir al 0 entre losnúmeros naturales o no. A continuación se presentan los axiomas de Peano de manera formal, contemplando ambas posibilidades:
[editar] Cuando no se incluye al 0
Los símbolos que designan los conceptos primitivos son .
El símbolo designa un predicado monádico que pretende ser leído como "ser un número natural". El símbolo , por su parte, designa una constante que pretende representar al númerouno. Y el símbolo , finalmente, designa una función sobre x que devuelve al sucesor de x. A esta función muchas veces se la escribe .
Los cinco axiomas de Peano son:

Del quinto axioma existen dos variantes. El primero está formulado en lógica de primer orden, y es en realidad un esquema de axioma. El segundo sí es un axioma, pero está formulado en lógica de segundo orden.

Además de los cincoaxiomas, la aritmética de Peano recurre a dos definiciones (de la suma y de la multiplicación), que a veces se presentan como axiomas. A continuación se incluyen todas las variantes:
* Definiciones de suma y multiplicación:
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* Axiomas de la suma y de la multiplicación:
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[editar] Cuando se incluye al 0
Los símbolos quedesignan los conceptos primitivos son .
Axiomas:

Cambiar los axiomas para que incluyan al 0 es sólo una cuestión de cambiar toda aparición del 1 por el 0. Sin embargo, en las definiciones (o los axiomas) de suma y de multiplicación hay que hacer algunos leves ajustes más:
* Definiciones de suma y multiplicación:
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* Axiomas de la suma y de lamultiplicación:
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[editar] Modelos inintencionales
Un modelo es una interpretación de los símbolos primitivos que hace verdaderos a todos los axiomas. Por ejemplo, interpretando al símbolo 0 como el número cero, y al predicado N como los números naturales, el primer axioma resulta verdadero, porque es verdad que "el cero es un número natural". Lo mismo ocurre con todos...