Axiomas y numeros reales

axioma números reales
Los Números Reales son un conjunto con dos operaciones (R,*,+) que cumple las siguientes axiomas para cualesquier x, y , z en el conjunto.
Cerradura: x*y y x+y son tambiénnúmeros reales.
Conmutatividad: x*y = y*x , x+y = y+x
Asociatividad: x*(y*z) = (x*y)*z , x+(y+z) = (x+y)+z
Distributividad: x*(y+z) = x*y + x*z
Elementos Neutros: Existen dos números 0 y 1 talque x+0 = x , x*1 = x
Elementos inversos: Para cada x en R existe un elemento inverso aditivo y en R tal que x+y = 0 , y para cada x distinta de cero existe un elemento inverso multiplicativo z talque x*y = 1 .
Se puede comprobar que para cada valor de x el elemento inverso es único y se representa por: Inverso Adititvo de x: -x
Inverso Multiplicativo de x: x−1
Las propiedades anteriores seconocen compo axiomas de campo y para caracterizar completamente a los números reales hance falta los Axiomas de Orden y el Axioma de Continuidad.

axioma del supremo-------------------------------------------------
Axioma del Supremo:
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Todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee un supremo.-------------------------------------------------

Ejemplo:
La parte entera del real 3, 5 es: [3, 5] = 3.
Ahora veamos que [x] es un número natural.
Como [x] = sup(A), el real [x] − ½, no puede ser una cota superior de A. Luego debeexistir un elemento n0 en A tal que [x] − ½
< n0. Por otra parte, como [x] es una cota superior de A se tiene que n0 ≤ [x] .
Veamos que n0 es una cota superior de A. Esto lo tendremos si todonatural n que sea mayor estricto que n0, no pertenece a A.
Si n > n0, se deduce que n ≥ n0 + 1. Pero sabemos que n0 + 1 > [x] + − ½ . Con esto tenemos que
n > [x] +− ½ > [x]. Por lo tanto, n es mayor queel supremo de A y entonces n / ∈ A. Con esto concluimos que no es una cota superior de A. Como n0 ∈ A, concluimos que es un máximo y por ende es igual a [x] .

se define axioma del supremo o...