Axiomas y teoremas fundamentales de la probabilidad

A) AXIOMAS Y TEOREMAS FUNDAMENTALES DE PROBABILIDAD

Sea S un espacio muestral, sea ε la clase de eventos y sea P una función de valores reales definida en ε. Entonces P se llama función de probabilidad, y P(A) es llamada probabilidad del evento A si se cumplen los siguientes axiomas:
ü  [P1] Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1
ü  [P2] P(S)= 1
ü  [P3] Si A y B son eventos mutuamenteexclusivos, entonces
P (A U B)= P(A) + P (B)
ü  [P4] Si A1, A2,…. es una serie de eventos mutuamente exclusivos, entonces
P (A1 U A2 U….) = P (A1)+ P (A2) +……..
Las siguientes observaciones conciernen al orden en que están los axiomas [P3] y [P4]. Ante todo, al utilizar [P3] y la inducción matemática se puede probar que para eventos mutuamente exclusivos A1, A2,…. An
P (A1 U A2 U….U An) = P(A1)+ P (A2) +……..+ P (An)
Se debe enfatizar que [P4] no proviene de [P3] ni siquiera la anterior demostración se cumple para todo entero positivo n. Sin embargo, si el espacio muestral S es finito, entonces claramente el axioma [P4] es superfluo.
APLICACIÓN DE LA TEORIA AXIOMATICA DE LA PROBABILIDAD
1. Espacios Finitos de Probabilidad
Sea S un espacio muestral finito; digamos, S= {a1,a2….., an}. Un espacio finito de probabilidad se obtiene al asignar a cada punto a1 € S un número real pi, llamado probabilidad de ai, que satisface las propiedades siguientes:
a. cada pi es no negativo, pi ≥0
b.

b.            la suma de los pi es uno, p1 +p2+…..+pn =1
La probabilidad P(A) de un evento A, se define entonces como la suma de las probabilidades de los puntos A.
Ejemplo:      Láncese tres monedas y obsérvese el número de caras que resulten; entonces el espacio muestral es S= {0, 1, 2,3}. Obtenemos un espacio de probabilidad por medio de las siguientes asignaciones:
P (0)=1/8, P (1)=3/8, P (2)=3/8, P (3)=1/8
Puesto que cada probabilidad es no negativa y la suma de las probabilidades es 1. Sea A el evento en que aparece una cara por lo menos y sea B el evento enque aparecen todas caras o todos sellos:
A= {1, 2,3} y B= {0,3}
Entonces, por definición, P(A)= P (1)+ P (2)+ P (3)= 3/8 + 3/8 + 1/8 = 7/8
P (B)= P (0) +P (3)= 1/8+1/8 = ¼.

2. Espacios Finitos Equiprobables
Frecuentemente, las características física de un experimento sugieren que se asignen iguales probabilidades a los diferentes resultados del espacio muestral. Un espaciofinito S de probabilidad, donde cada punto muestral tiene la misma probabilidad, se llamará espacio equiprobable o uniforme. En particular, si S contiene n puntos entonces la probabilidad de cada punto es 1/n. Además, si un evento A contiene r puntos entonces su probabilidad es r (1/n)=r/n. En otras palabras, P(A)= número de elementos de A
Número de elementos de S
O P(A)=número de manerasen que el evento A puede suceder__________
Número de maneras en que el espacio muestral S puede suceder
Esta fórmula puede utilizarse solamente con respecto a un espacio equiprobable.


La expresión “al azar” se usará solamente respecto a un espacio equiprobable; formalmente, la proposición “escoger un punto al azar de un

Conjunto S” significa que S es un espacioequiprobable, esto es, que cada punto muestral de S tiene la misma probabilidad.
Ejemplo:
      Sean 2 artículos escogidos al azar de un grupo de 12 de los cuales 4 son defectuosos. Sea
A= {dos artículos defectuosos} y B= {dos artículos no defectuosos}
Hallar P(A) y P (B). Ahora
S puede suceder de 12 = 66 maneras, o número de veces que se pueden
2 escoger 2 artículosentre 12
A puede suceder 4 = 6 maneras, o número de veces en que se pueden
2 defectuosos entre 4 defectuosos.
B puede suceder de 8 = 28 maneras, o número de veces en que se
2 pueden escoger 2 artículos no defectuosos entre 8 no defectuosos.
Por consiguiente. P(A)= 6/66=1/11 y P (B)+28/66=14/33
Pregunta: ¿Cuál es la...