Azar

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¡Qu´ dif´ es la aleatoriedad! e ıcil (extracciones y azar)∗
F. Montes† & A. Corber´n†. Universitat de Val`ncia a e

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Introducci´n o

El azar forma parte de nuestra vida cotidiana y se nos manifiesta de forma espont´nea a trav´s a e de m´ltiples circunstancias y fen´menos; pero en otras muchas ocasiones somos nosotros quienes u o necesitamos convocarlo. La obtenci´n de una secuenciaaleatoria de n´meros es, sin duda, la o u m´s corriente de estas necesidades. a Estas notas pretenden ocuparse de la dificultad de generar con ´xito una secuencia aleatoria e que merezca tal nombre y lo hacen mediante el an´lisis de una loter´ muy popular, la Primitiva, a ıa y sus familiares cercanos, el Bono Loto y el Gordo, y un sorteo relacionado con un llamamiento al servicio militar en los EUA. Elorden de presentaci´n de los ejemplos no es casual, est´n o a ordenados de mejor a peor atendiendo al ´xito en alcanzar el objetivo de aleatoriedad perseguido. e En el primero de ellos, la loter´ Primitiva y sus variantes, las combinaciones ganadoras cumplen ıa con los requisitos de aleatoriedad exigibles a un juego social de azar tan popular (¿podr´ haber ıa sido de otra manera?). En el segundo,el sorteo del servicio militar del a˜o 70 en los EUA, las n cosas son peores porque a pesar de las precauciones que se tomaron el resultado no pas´ con o ´xito ninguno de los tests de aleatoriedad a que fue sometido. Un ejemplo m´s cercano, en el e a que un planteamiento err´neo inicial condujo a un mal resultado, fue el sorteo para determinar o los excedentes de cupo del reemplazo del 98 en Espa˜adel que ya nos ocupamos en [2]. n

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La Primitiva

La Primitiva y el resto de loter´ conocidas gen´ricamente como 6/49, consisten en la extracci´n ıas e o al azar, sin reemplazamiento, de 6 n´meros entre los 49 primeros n´meros naturales. Estos 6 u u n´meros, cuyo orden de extracci´n es irrelevante, constituyen lo que se denomina combinaci´n u o o ganadora y su acierto es el objetivo(so˜ado) de los apostantes, que efect´an sus apuestas n u mediante la elecci´n de 6 n´meros en el correspondiente boleto. o u La dificultad de acertar la combinaci´n ganadora, premio de 1a categor´ se palia otorgando o ıa, premios de menor categor´ basados en el acierto parcial de dicha combinaci´n. El premio de ıa o ıa u o a 2a categor´ se otorga cuando se aciertan 5 de los 6 n´meros de la combinaci´nganadora m´s el llamado complementario, n´mero que se ha extra´ al azar de entre los 43 que no forman u ıdo ıa u parte de dicha combinaci´n. La 3a categor´ de premios consiste en acertar 5 de los 6 n´meros o u ganadores y en las categor´ 4a y 5a han de acertarse, respectivamente, 4 y 3 de los 6 n´meros ıas
∗ Este texto recoge la conferencia impartida en el curso Un cambio hist´rico: el lenguaje delas matem´ticas o a en sus aplicaciones, que tuvo lugar del 11 al 15 de septiembre de 2000 en la UIMP de Santander. † Direcci´n: Departament d’Estad´ o ıstica i Investigaci´ Operativa. Universitat de Val`ncia. E-46100 Burjaso e sot. Spain. e-mail: francisco.montes@uv.es, angel.corberan@uv.es.

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Montes & Corber´n a

¡Qu´ dif´ es la aleatoriedad! e ıcil

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de la combinaci´n ganadora.Veamos hasta qu´ punto somos benevolentes calificando s´lo de o e o dif´ la obtenci´n de un premio de 1a categor´ ıcil o ıa.

2.1

El espacio muestral de los posibles resultados

El experimento consistente en extraer los 6 n´meros en las condiciones antes descritas es un u experimento aleatorio que da lugar a un espacio muestral finito e equiprobable, Ω, con 49 = 6 13.983.816 resultados. Laobtenci´n de la probabilidad de ocurrencia de cualquier suceso A se o lleva a cabo aplicando la f´rmula de Laplace, o P (A) = casos favorables a la ocurrencia de A . casos posibles

La tabla recoge la probabilidad de acierto para cada categor´ ıa. categor´ ıa primera segunda tercera cuarta quinta aciertos 6 5+C 5 4 3
6 4 6 3 6 5 6 5

favorables
6 6

probabilidad 7, 15 × 10−8 4, 29 × 10−7...
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