Bachiller

Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden

Moisés Villena Muñoz

2
2.1 Ecuación Diferenciales de segundo
orden con coeficientes constantes.
2.1
2.2 Ecuaciones diferenciales de orden
superior
2.3 Análisis Cualitativo

Objetivos.
Se persigue que el estudiante:
• Encuentre
soluciones generales y/o
particulares de Ecuaciones Diferenciales de
segundo orden
• DetermineEstabilidad dinámica cuantitativa
y/o cualitativamente.

1

Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden

Moisés Villena Muñoz

2.1
ECUACIONES
DIFERENCIALES
DE
SEGUNDO
ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.
Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma:

y´´+ p ( x ) y´+ q ( x ) y = g ( x )
Si g ( x ) = 0 se llama Ecuación homogénea caso contrario; es decir, si
g ( x) ≠ 0 sellama Ecuación no homogénea.
Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes es
de la forma:

ay´´+by´+ cy = g ( x )

donde a , b y c ∈ IR y a ≠ 0

2.1.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON
COEFICIENTES CONSTANTES HOMOGÉNEA
Una ecuación diferencial de Segundo Orden con coeficientes constantes
homogénea es de la forma:

ay´´+by´+ cy = 0
La función " y", solución general de la ecuación diferencial anterior, es de la
forma y ( x ) = ke
de la solución.

rx

(¿Por qué?). Donde " k " es una constante que da la generalidad

Entonces el objetivo ahora será hallar el valor de r .
Bien, de la solución general tenemos:

y ′ = kre rx
y ′′ = kr 2 e rx

Reemplazando en ay´´+by´+ cy = 0 tenemos:
akr 2 e rx + bkre rx + cke rx = 0

[

]ke rx ar 2 + br + c = 0

Ahora bien, k ≠ 0 porque si no tuviéramos las solución trivial y como
también e rx ≠ 0 , entonces ar 2 + br + c = 0 . A esta expresión se la denomina
Ecuación Auxiliar y es útil para hallar r .
Observe que la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raices
se las puede determinar empleando la formula general

2

Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales desegundo orden

Moisés Villena Muñoz

r1 , r2 =

− b ± b 2 − 4ac
2a

Aquí se presentan tres casos.
Caso I

[

]

Discriminante positivo b 2 − 4ac > 0 . Entonces r1 y r2 son raíces reales y
diferentes. En este caso se dice que existen dos soluciones fundamentales
y1 ( x) = k1e r x
1

y 2 ( x) = k 2 e r x
2

La solución General estaría dada por la combinación lineal de lassoluciones
fundamentales
y ( x) = k1e r x + k 2 e r x
1

Caso II

[

2

]

Discriminante cero b 2 − 4ac = 0 . Entonces r1 y r2 son raíces
iguales.

reales e

En este caso la solución General sería: y ( x ) = k1e rx + k 2 xe rx
Caso III

[

]

Discriminante negativo b 2 − 4ac < 0 . Entonces r1 = λ + µi y r2 = λ − µi son
raíces complejas conjugadas
Reemplazando en y ( x ) = C1e rx + C 2 e r x tenemos:
1

2

y ( x) =C 1e ( λ +µi ) x + C 2 e ( λ −µi ) x
y ( x) =C 1e λx e µix + C 2 e λx e −µix

[

y ( x) = e λx C 1e µix + C 2 e −µix

]

Como e iµx = cos µx + i sen µx y e − iµx = cos µx − i sen µx
Reemplazando tenemos:
y ( x) = e λx [C 1(cos µx + i sen µx) + C2 (cos µx − i sen µx)]
y ( x) = e λx [(C 1+C2 ) cos µx + (C 1i + C2i ) sen µx ]

Por lo tanto lasolución sería y ( x ) = e λx [k1 sen(µx ) + k 2 cos(µx )]
Ejemplo 1
Encuentre la solución general para y ′′ − 4 y ′ − 12 y = 0
SOLUCIÓN:
En este caso la ecuación auxiliar sería r 2 − 4r − 12 = 0

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Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden

Moisés Villena Muñoz

Hallando las raíces tenemos

(r − 6)(r + 2) = 0
r = 6 r = −2

Por tanto:

y1 ( x) = k1e6 x
y2 ( x) = k2 e −2x
y ( x) = k1e6 x + k2 e −2 x
Podemos comprobar que efectivamente esta es la función que satisface la ecuación diferencial dada.
Obtengamos la primera y la segunda derivada

y ′ = 6k1e 6 x − 2k 2 e −2 x
y ′′ = 36k1e 6 x + 4k 2 e − 2 x
Luego, reemplazando

36k1e 6 x + 4k 2 e −2 x − 24k1e 6 x + 8k 2 e −2 x − 12k1e 6 x − 12k 2 e −2 x = 0
0=0

Ejemplo 2
Encuentre la solución general...