Bases Del Conocimiento De La Lógica Matemática

Bases Del Conocimiento De La Lógica Matemática
Durante cientos de años, los matemáticos se habían ocupado en utilizar demostraciones lógicas para construir desde lo conocido hacia lo desconocido. El progreso había sido prodigioso, con cada nueva generación de matemáticos edificando sobre la magnífica estructura y creando nuevos conceptos de números y de geometría. Sin embargo hacia el final delsiglo xix, en lugar de mirar hacia delante, los lógicos matemáticos comenzaron a volverse hacia los cimientos de las matemáticas sobre los que se había construido todo lo demás. Querían verificar las bases de las matemáticas, así que lo reconstruyeron todo desde los primeros principios con un absoluto rigor a fin de reasegurarse de que aquellos principios originarios eran sólidos.
Aún más rigurosoque el matemático ordinario es aquel que está especializado en el estudio de la lógica matemática. Los lógicos matemáticos comienzan cuestionando ideas que otros matemáticos han dado por sentadas durante siglos. Así, la ley de la tricotomía establece que todo número es o bien negativo o bien positivo o bien igual a cero. Esto parece obvio y los matemáticos lo habían asumido como cierto de formatácita, pero nadie se había tomado la molestia de demostrar que de verdad era ése el caso.
Los lógicos notaron que, hasta que la ley de la tricotomía no se probara como cierta, podría ser falsa, y si ocurriera esto último, la totalidad de un edificio del conocimiento, todo lo basado en dicha ley, se colapsaría. Por suerte para los matemáticos, al final del siglo pasado la ley de la tricotomía sedemostró como cierta.
Los lógicos decidieron probar cada teorema desde los principios más remotos. Sin embargo, cada verdad debía deducirse de otras verdades.
Estas presunciones constituyen los axiomas matemáticos.
Un ejemplo de axioma es la ley conmutativa de la adición, la cual establece que, para cuales quiera números m y n,
m + n = n + m
El matemático alemán Hermann Weyl resume el espíritu de laépoca: «La lógica es la higiene que practican los matemáticos para mantener sus ideas sanas y robustas.» Además de depurar lo que ya se conocía, confiaban en que este enfoque fundamentalista también arrojaría luz sobre problemas que hasta ahora no se habían resuelto, entre ellos el último teorema de Fermat.
El programa fue dirigido por la figura más eminente de la época, David Hilbert. Hilbertcreía que en matemáticas todo podía y debía probarse a partir de los axiomas básicos.
El resultado de ello sería demostrar de manera concluyente los dos elementos básicos del sistema matemático. En primer lugar, las matemáticas debían ser capaces, al menos en teoría, de responder a cualquier interrogante concreto. Se trata del mismo carácter de completitud que había requerido en el pasado la invenciónde números nuevos, como los negativos o los imaginarios. En segundo lugar, las matemáticas deberían estar libres de incongruencias, o lo que es lo mismo, una vez mostrada la veracidad de una premisa a través de un método no sería posible que mediante otro método se concluyera que esa misma premisa es falsa. Hilbert estaba convencido de que, asumiendo tan sólo unos pocos axiomas, sería posibleresponder a cualquier pregunta matemática concebible sin temor a una contradicción.
El 8 de agosto de 1900, Hilbert pronunció una conferencia histórica en el Congreso Internacional de Matemáticos de París. Hilbert planteó veintitrés problemas matemáticos sin resolver que él consideraba de una perentoria importancia. Estos problemas tenían la finalidad de centrar la atención del mundo matemático y deconstituir un programa de investigación.
Gottlob Frege fue una de las figuras más destacadas del llamado programa de Hilbert, si bien en ocasiones fue un amargo rival de éste. Frege se dedicó durante más de una década a deducir cientos de complicados teoremas a partir de los axiomas básicos, y sus éxitos lo llevaron a creer que estaba en el camino correcto para llegar a completar una parte...