Batman

Solo disponible en BuenasTareas
  • Páginas : 7 (1584 palabras )
  • Descarga(s) : 0
  • Publicado : 30 de noviembre de 2011
Leer documento completo
Vista previa del texto
Àlgebra Grau audiovisual

Examen de la segona avaluació Gener 2009 POSSIBLE RESOLUCIÓ

Durada de l’examen: 2 hores No es considerarà vàlida cap resposta que no estigui raonada de forma breu i clara. 1. Considereu els vectors {(1 1 −1) (2 1 2) (2 0 6) (1 2 −5)} i el subespai  de R3 que generen. (a) Quines condicions han de verificar   i  per tal que el vector (  ) sigui de? (b) Doneu la dimensió i una base de . (c) Justifiqueu si el vector u = (4 2 4) pertany o no a  (d) Determineu els valors d’ i  per tal que el vector (1  ) sigui de  (2’5 punts) (a) Per tal que el vector (  ) sigui de  cal que sigui combinació lineal dels vectors de l’enunciat. És a dir, cal que ∃    ∈ R (  ) = (1 1 −1) + (2 1 2) + (2 0 6) + (1 2 −5) Aixòés equivalent al fet que el sistema següent tingui solució per a    : ⎫ ⎛ ⎞ ⎞  + 2 + 2 +  =  ⎬ 1 2 2 1  ⎝ 1 1 0 2 ⎠  ⎠  +  + 2 =  esquemàticament: ⎭ − + 2 + 6 − 5 =  −1 2 6 −5 

Simplificació pel mètode de Gauss: ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ 1 2 2 1  1 2 2 1  ⎝ 0 −1 −2 1 ⎠ ⎠  −  ⎝ 0 −1 −2 1 ⎠  −  ⎠ ∼ −  +  0 4 8 −4 +  + 4 0 0 0 0  + 4 − 3 Per a que el sistema tinguisolució cal que l’última fila no sigui incompatible, és a dir, cal que  + 4 − 3 = 0 Per tant la condició pet tal que (  ) sigui de  és que  + 4 − 3 = 0 (b) Pel que s’ha vist a l’apartat a)  = {(  )|  + 4 − 3 = 0} Aïllant la variable  a la condició,  = −3 − 4, els vectors de  es poden escriure com (  3 − 4) on   són variables lliures. Per trobar una base, es potdescomposar el vector genèric de  en suma de dos separant els termes amb  i amb traient factor comú: (  3 − 4) = ( 0 3) + (0  −4) = (1 0 3) + (0 1 −4) D’aquí es dedueix que els vectors (1 0 3) (0 1 −4) són generadors dels vectors de  A més aquests vectors són linealment independents, perquè no són proporcionals. Per tant, (1 0 3) (0 1 −4) és una base de . I d’aquíes dedueix que dim  = 2

(c) u = (4 2 4) pertany a  si satisfà la condició:  + 4 − 3|u = 4 + 4 · 2 − 3 · 4 = 0 Sí satisfà la condició, per tant sí pertany a  (d) Com en l’apartat anterior, v = (1  ) pertany a  si satisfà la condició v = (1  ):  + 4 − 3|v =  + 4 − 3 = 0 Per tant els valors d’ i  demanats són els que satisfan  + 4 = 3

2. Donada la base  = {(1 1 00) (0 1 1 0) (0 0 1 1) (0 0 0 1)} de R4 i el vector v = (5 6 7 8): (a) Calculeu les components del vector v en base . (b) El vector u, que en base  s’escriu u = (1 2 3 4) ,quines components té en base canònica? (2’5 punts) (a) Per calcular les components del vector v en base  cal escriure’l com a combinació lineal dels vectors de la base: v = (5 6 7 8) = (1 1 0 0) +(0 1 1 0) + (0 0 1 1) + (0 0 0 1)    ? Per això cal resoldre el sistema següent: ⎫ =5 ⎪ ⎪ ⎬ +=6 +=7 ⎪ ⎪ ⎭ +=8  = 6 −  = 1  = 7 −  = 6

Com que el sistema és molt senzill, es pot resoldre per substitució de dalt a baix, obtenint:  = 5 =8− =2

Per tant les components del vector en base  són: v = (5 1 6 2) (b) Les components d’u en base  són els escalars (  ) que expressen aquest vector com a combinació lineal dels vectors de la base. Per tant: u = (1 2 3 4) = 1(1 1 0 0) + 2(0 1 1 0) + 3(0 0 1 1) + 4(0 0 0 1) = (1 3 5 7) És a dir, que les components de u en base canònica són: (1 3 5 7)

3. Classifiqueu (tipus i graus de llibertat) el sistema següent, segons el valor dels paràmetres  i : ⎧ ⎨ ++ =1 − + 2 +  = 1 ⎩ +  +  =  (2’5 punts) ⎞ ⎞ 1 1 1 1 Esquemàticament el sistema és: ⎝ −1 2 1 ⎠ 1 ⎠ 1 1   ⎛

Si −1 6= 0 no hi ha cap fila de coeficients nul·la. Per tant el sistema és compatible (té solució). I hi ha tantes files com incògnites, per tant és determinat (una sola solució, 0 graus de llibertat) Resolució del sistema per substitució de baix a dalt : ⎫ ++ =1 ⎬ ⇒  = −1 ⇒  = 2 (1 − ) =...
tracking img