Bessel

Capítulo 7

Funciones de Bessel y su Aplicación
a la Resolución de EDPs
En este capítulo pretendemos estudiar EDPs que dependen de dos variables espaciales (además
de la variable temporal) y veremos que el método de separación de variables es también aplicable
para estudiar dichas ecuaciones. Ello nos permitirá poder estudiar problemas tales como el de la
difusión de calor en recintos circulares,la vibración de una membrana circular sujeta en el borde,
o el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en un cilindro. Desde un punto de vista
matemático, la diferencia fundamental con el caso unidimensional estriba en el hecho de que el
problema de Sturm-Liouville al que conduce la aplicación del método de separación de variables
es lo que llamamos singular, lo cual básicamentesignifica que la ecuación diferencial ordinaria
que nos aparecerá es de coeficientes no constantes. Las autofunciones asociadas a estos nuevos
problemas de Sturm-Liouville serán bastante más complicadas que las funciones seno y coseno,
y son lo que se llaman funciones de Bessel. Este capítulo nos servirá además para constatar
un hecho bastante común en ingeniería: el hecho de que a medida que complicamosmás los
modelos matemáticos para estudiar problemas de ingeniería, también se complican en igual o
mayor medida las matemáticas involucradas en dichos problemas.
Para ilustrar con un poco más de detalle lo que estamos diciendo en esta introducción,
consideremos el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en un cilindro y veamos qué
sucede si intentamos resolver dicho problema por elmétodo de separación de variables. Siendo
ª
©
Ω = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 < b2 , 0 < z < a
¡ ¢
el interior de un cilindro, se trata de encontrar una función u ∈ C 2 (Ω) ∩ C Ω de modo que
½

∆u = 0 en Ω
u=f
sobre ∂Ω

siendo f ∈ C (∂Ω) una función dada. Debido a la geometría del dominio en el que estudiamos este
problema, parece razonable usar coordenadas cilíndricas. Si suponemos además, parasimplificar,
que f se anula sobre la tapa inferior del cilindro y sobre su borde, entonces el problema anterior
se convierte en

urr + r−1 ur + r−2 uθθ + uzz = 0, en Ω



u (b, θ, z) = 0,
0 ≤ θ < 2π , 0 < z < a
u (r, θ, a) = g (r, θ) ,
0 ≤ r ≤ b , 0 ≤ θ < 2π



u (r, θ, 0) = 0,
0 ≤ r ≤ b , 0 ≤ θ < 2π
85

86

Capítulo 7. Funciones de Bessel y su Aplicación a la Resolución de EDPs

siendo g unafunción continua. Como siempre en el método de separación de variables proponemos una solución que se pueda escribir en la forma
u (r, θ, z) = R (r) Θ (θ) Z (z) .
Derivando y sustituyendo en la ecuación de Laplace obtenemos que
R0
Θ00
Z 00
R00
+
+ 2 =− .
R
rR r Θ
Z
Por tanto, la expresión anterior ha de ser igual a una cierta constante, llamémosle −µ2 . Con
ello,
R00
R0
Θ00
+
+ 2 = −µ2 .
Z 00 − µ2 Z =0 y
R
rR r Θ
La segunda de las ecuaciones se puede escribir en la forma
r2 R00 rR0
Θ00
+
+ r2 µ2 = − .
R
R
Θ
De nuevo estos términos han de ser igual a otra constante ν 2 , de forma que
¡
¢
Θ00 + ν 2 Θ = 0 y r2 R00 + rR0 + r2 µ2 − ν 2 R = 0.

La ecuaciones para las incógnitas Z y Θ ya las conocemos y las sabemos resolver, pero la ecuación
para la función R es nueva, se llama ecuación de Bessel, yno la sabemos resolver, al menos de
momento. Finalmente, la condición de contorno u (b, θ, z) = 0 se traduce en que R (b) = 0. El
problema
¡
¢
½ 2 00
r R + rR0 + r2 µ2 − ν 2 R = 0,
0 (7.1)
R (b) = 0
es lo que se llama un sistema de Sturm-Liouville para la ecuación de Bessel y de su estudio nos
ocuparemos en este capítulo.

7.1

La Ecuación de Bessel. Funciones de Bessel

En esta sección nosocuparemos del estudio de la ecuación diferencial ordinaria
¡
¢
x2 u00 (x) + xu0 (x) + x2 − ν 2 u (x) = 0,

(7.2)

con ν ≥ 0, que se denomina ecuación de Bessel de orden ν. Se trata de una ecuación diferencial
ordinaria de orden dos con coeficientes no contantes. Nótese en primer lugar que la ecuación
dada en (7.1) se reduce a la ecuación (7.2) con el cambio R (r) = u (x) , x = rµ.
Para resolver...

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