funciones de bessel
Páginas: 3 (552 palabras)
Publicado: 9 de abril de 2014
Al igual que los polinomios de Legendre las funciones de Bessel de primera especie se pueden
introducir a través de una función generatriz.
Nótese que entendemos las funciones de Bessel como loscoeficientes, que dependen de x, de una
serie en la variable t. A diferencia de los polinomios de Legendre, esta serie no es una serie de
Taylor sino de Laurent pues contiene potencias negativas.Expandiendo el producto de las dos exponenciales podemos llegar expresiones en forma de serie de
Taylor:
Para poder identificar este producto con la serie en (1) haremos el cambio de índice n = r −s o
equivalentemente r = n + s y r + s = n + 2s. Sustituyendo obtenemos:
Relaciones de recurrencia:
Podemos deducir relaciones de recurrencia similares a las encontradas para los polinomios deLegendre de la siguiente forma:
Por otro lado
Podemos encontrar una segunda relación de recurrencia derivando con respecto a x:
Por otro lado
Propiedades
Las funciones de Bessel no sonpolinomios. Su serie de Taylor tiene infinitostérminos.
Para x 0.
Esto se puede demostrar haciendo
Las contribuciones a la serie para valores s = 0,...,n − 1 son cero. Así que podemos hacer elcambio s
→s+n
Representación integral
Las funciones de Bessel admiten la siguiente representación integral.
Para demostrar que esta definición es equivalente a otras que hemos estudiadopodemos utilizar las
ecuaciones para escribir:
Ejercicio: Comprobar la segunda relación de recurrencia utilizando la representación integral:
La combinación
Cancela el término que es producto decosenos. Por tanto se cumple que
Ecuación de Bessel
Utilizando las relaciones de recurrencia llegamos a la ecuación diferencial ordinaria:
Que es la ecuación de Bessel. Sus soluciones dependendel índice n. Las funciones de Bessel tal
como las hemos definido con la función generatriz satisfacen la ecuación de Bessel.
Si dividimos la ecuación por x, el operador que genera la ecuación...
introducir a través de una función generatriz.
Nótese que entendemos las funciones de Bessel como loscoeficientes, que dependen de x, de una
serie en la variable t. A diferencia de los polinomios de Legendre, esta serie no es una serie de
Taylor sino de Laurent pues contiene potencias negativas.Expandiendo el producto de las dos exponenciales podemos llegar expresiones en forma de serie de
Taylor:
Para poder identificar este producto con la serie en (1) haremos el cambio de índice n = r −s o
equivalentemente r = n + s y r + s = n + 2s. Sustituyendo obtenemos:
Relaciones de recurrencia:
Podemos deducir relaciones de recurrencia similares a las encontradas para los polinomios deLegendre de la siguiente forma:
Por otro lado
Podemos encontrar una segunda relación de recurrencia derivando con respecto a x:
Por otro lado
Propiedades
Las funciones de Bessel no sonpolinomios. Su serie de Taylor tiene infinitostérminos.
Para x 0.
Esto se puede demostrar haciendo
Las contribuciones a la serie para valores s = 0,...,n − 1 son cero. Así que podemos hacer elcambio s
→s+n
Representación integral
Las funciones de Bessel admiten la siguiente representación integral.
Para demostrar que esta definición es equivalente a otras que hemos estudiadopodemos utilizar las
ecuaciones para escribir:
Ejercicio: Comprobar la segunda relación de recurrencia utilizando la representación integral:
La combinación
Cancela el término que es producto decosenos. Por tanto se cumple que
Ecuación de Bessel
Utilizando las relaciones de recurrencia llegamos a la ecuación diferencial ordinaria:
Que es la ecuación de Bessel. Sus soluciones dependendel índice n. Las funciones de Bessel tal
como las hemos definido con la función generatriz satisfacen la ecuación de Bessel.
Si dividimos la ecuación por x, el operador que genera la ecuación...
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