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Unidad 2. Límites y continuidad
2.1 Introducir de manera intuitiva el concepto de límite
Tal vez ha estado usted en un estacionamiento en el que puede “aproximarse” al
automóvil de enfrente, pero no quiere golpearlo ni tocarlo. Esta noción de estar cada vez
más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas, y la cual está
involucrada en el concepto de límite, en el quedescansa el fundamento del cálculo.
Básicamente, haremos que una variable “se aproxime” a un valor particular y
examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la función.

2.1.1 Límite alrededor de un punto a través de una visualización numérica y
gráfica
Ejemplo: considere la siguiente función:

x3 1
f ( x) 
x 1
Dominio: (-∞, 1)  (1, ∞)
Tabla de valores para considerar ellímite de 1
x1
x

x1
f(x)

x

f(x)

0.8

2.44

1.2

3.64

0.9

2.71

1.1

3.31

0.95

2.8525

1.05

3.1525

0.99

2.9701

1.01

3.0301

0.995

2.985025

1.005

3.015025

0.999

2.997001

1.001

3.003001

A graficar estos valores se observaría que cuando x se acerca a 1 f(x) tiende a ser un
valor cercano a 3.

x3 1
lím ( x  1) 
3
x1
Esto se lee “el límite cuando x tiende a 1 de (x3-1)/(x-1) es 3”

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Siendo buenos algebristas (es decir, conociendo cómo se factoriza la deferencia de
cubos), podemos probar más y mejor evidencia,

lím ( x1)





x  1 x 2  x  1  lím
x3 1
2
2
 lím ( x1)
( x 1) x  x  1  1  1  1  3
x 1
x 1





Observe que (x-1)/(x-1)=1 siempre que x  1.Actividad: Realizar la gráfica de esta tabla en su cuaderno, con el objetivo de que
observen cómo cuando esta función se acerca a 1, el límite tiende a ser 3.

Definición
El límite de f (x) cuando x se acerca (o tiende) a a , es el número L, escrito
lím ( xa ) f ( x)  L

Siempre que f (x) esté arbitrariamente cercana a L para toda x lo suficientemente
cerca, pero diferente de a.

El límitedebe ser el mismo si x se acerca a a por la izquierda o por la derecha (para
x a o xa, respectivamente)

Teorema A
lím xc f ( x)  L , si y sólo si lím xc  f ( x)  L y lím xc  f ( x)  L

Ejercicios para clase:
Determinar el dominio y el límite de las siguientes funciones:
1. lím ( x3) ( x  3) 
2. lím ( x3) (4 x  5) 
3. lím ( x3)
4. lím ( x1)
5. lím ( x0)

x2  x  6
x3
x 1

x 1
senx

x

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Tarea
Repaso de conceptos
1.- lím xc f ( x)  L significa que f(x) está cerca de ____ cuando x está suficientemente
cerca (pero difiere) de ____
2. Sea f ( x)  ( x 2  9) /( x  3) y observe que f(3) no está definido. Sin embargo
lím x3 f ( x)  ____

3.- lím xc  f ( x)  L significa que f(x) está cerca de ____cuando x se aproxima a a porla ____
4.- Si ambos lím xc  f ( x)  M y lím xc  f ( x)  M , entonces __________

En los siguientes problemas encuentre por inspección el límite indicado
1.- lím ( x2) x 3 
2. lím ( x0) (2 x  1) 





3. lím ( x3) x 2  3x 
4. lím ( x 3) 2 x 2  4 x  1 
5. lím ( x 3) x  1 
6. lím ( x4) x  3 
2

7. lím ( x 2)

1

x

8. lím ( x 1)

x

x 49. lím ( x 7 )

2

3x
x2



10. lím ( x3) (2 x  8) 

2 
11. lím ( x3)   1 
x 





12. lím ( x2) x 2  3x  1 
13. lím ( x4)

9  x2

x3

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14. lím ( x

12  x 2

x4

3)

15. lím ( x1)

5x  x 2

x 2  2x  4

En los siguientes problemas encuentre el límite indicado. En la mayoría de los casos
será necesario hacer primeroun poco de manipulación algebraica.
1.- lím ( x1)

x 2  3x  4

x 1

2.- lím ( x1)

x 2  2x  3

x3

3.- lím ( x1)

2 x 2  5x  3

x3

4.- lím ( x1)

x 3  16 x

x 2  4x

5.- lím ( x9)

x9

x 3

6.- lím ( x 2)

x 2  2x  8

x2

7.- lím ( x2)

x2  x  6

x2

8.- lím (t 2)

t 2  5t  6

t2 t  2

9.- lím (u 1)...