Bifurcación De Hopf En Un Modelo Matemático De Reacción Oscilatoria

UNIVERSIDAD DE SONORA
ANÁLISIS DE UN MODELO
MATEMÁTICO DE UNA REACCIÓN
QUÍMICA OSCILATORIA
Alumno: Luis Pablo Moreno Romero
Asesor: Dr. Fernando Verduzco González

INTRODUCCIÓN
Existe ciertotipo de reacciones químicas efectuadas por etapas, donde
en las etapas intermedias son producidos algunos compuestos que son
consumidos en las etapas posteriores de la reacción, es decir actúancomo reactivos en las etapas sucesivas. Estos compuestos son llamados
intermedios.
Las reacciones que presentan el fenómeno llamado oscilación química,
son aquellas en las cuales las concentracionesde los intermedios están
variando desde un valor límite mínimo hasta un valor límite máximo.

REACCIÓN DEL DIÓXIDO DE CLORO-YODO-ÁC. MALÓNICO

MA + I 2 → IMA + I − + H +
−
ClO2 + I − → ClO2 +1 I 2
2
−
ClO2 + 4 I − + 4 H + → Cl − + 2 I 2 + 2 H 2O

MODELO CINÉTICO (Lengyel et al. 1990)

d [ I2 ]
dt

=−

d [ClO2 ]

k1b + [ I 2 ]

= −k2 [ClO2 ] ⎡ I − ⎤
⎣⎦

dt
−
d ⎡ClO2 ⎤⎣
⎦
dt

k1a [ MA] [ I 2 ]

⎡I − ⎤
−
−
= −k3a ⎡ClO2 ⎤ ⎡ I − ⎤ ⎡ H + ⎤ − k3b ⎡ClO2 ⎤ [ I 2 ] ⎣ ⎦ 2
⎣
⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
⎣
⎦
u + ⎡I − ⎤
⎣⎦

MODELO ADIMENSIONALIZADO Y SIMPLIFICADO
(Lengyel etal, 1990)

4 xy
1 + x2
y⎞
⎛
&
y = bx ⎜1 −
⎟
1 + x2 ⎠
⎝
( x, y ) ≥ 0, a, b > 0
&
x =a−x−

(1)

TEOREMA (POINCARÉ-ANDRONOV-HOPF)
Considere el sistema parametrizado:
&
x = f ( x, µ )x∈
y
H1) f (x0 , µ0 ) = 0

2

,µ ∈

(2)

H2) A ≡ [ Df ( x0 , µ0 )]2×2 tiene valores propios ±iω 0 , ω 0 > 0
H3) Sea λ ( µ ) el valor propio tal que λ ( µ0 ) = iω 0 y

(

d
Re ( λ ( µ ))
dµ

)

µ = µ0

=d ≠0

Si se cumplen las hipótesis anteriores [(H1),(H2) y (H3)], entonces
el sistema (2) sufre una bifurcación de Hopf en ( x0 , µ0 ).Además,
(2) es topológicamenteequivalente con su sistema en forma
canónica si σ≠0. Si σ < 0 el ciclo límite es estable, mientras que
para σ > 0 es inestable.

EQUILIBRIOS
Primeramente, hagamos x = 0 y y = 0 , entonces:
&
&...