Biseccion

Soluci´on de ecuaciones algebraicas y trascendentes:
M´etodo de bisecci´on
Ing. Jes´
us Javier Cort´es Rosas
M. en A. Miguel Eduardo Gonz´alez C´ardenas
M. en A. V´ıctor D. Pinilla Mor´an *
2011

Resumen
Introducci´
on. Definici´
on del m´etodo. Interpretaci´on geom´etrica. Criterio de convergencia.
Ejemplo de aplicaci´
on.

1.

Introducci´
on

El m´etodo de bisecci´
on se aplica a funcionesalgebraicas o trascendentes y proporciona u
´nicamente
ra´ıces reales. Tiene su origen en un popular algoritmo de b´
usqueda de datos en arreglos vectoriales
denominado b´
usqueda binaria. Es un m´etodo cerrado, es decir, requiere de un intervalo en el cual
est´e atrapada una ra´ız. B´
asicamente, consiste en cortar el intervalo en dos justo por la mitad
(bisectar) considerando a este punto como unaaproximaci´on de la ra´ız de la funci´on. Posteriormente,
debe determinarse si la ra´ız verdadera se encuentra a la derecha o a la izquierda de la aproximaci´
on
y, seg´
un corresponda, cerrar el intervalo con la aproximaci´on y el l´ımite derecho o izquierdo, pero
siempre manteniendo a la ra´ız verdadera en el intervalo. Esta operaci´on se repite hasta que la
diferencia entre las dos u
´ltimasaproximaciones sea menor que una tolerancia preestablecida.
Bisecci´on es un m´etodo robusto, aunque resulta lento en su proceso por lo oneroso de los c´alculos
que deben realizarse; por otra parte, su convergencia puede en ocasiones ser inestable.

2.

Definici´
on del m´
etodo

A partir [1] de una funci´
on algebraica o trascendente y de un intervalo [a, b] que pertenece al dominio
de la funci´on ypara el cual f (a) · f (b) < 0, lo que implica que en el intervalo [a, b] existe al menos
una ra´ız. El m´etodo consiste en bisectar el intervalo [a, b]:
x0 =

a+b
2

*

Facultad de Ingenier´ıa, UNAMProfesores de tiempo completo del Departamento de Matem´
aticas Aplicadas de la
Divisi´
on de Ciencias B´
asicas

1

An´alisis num´erico

2

obteniendo una aproximaci´
on a la ra´ız x0 ; la funci´onse val´
ua en este nuevo valor y de acuerdo al
signo de la funci´
on valuada en este punto, deber´a sustituirse uno de los extremos del intervalo de
b´
usqueda, de tal forma que se conserve que f (a) · f (b) < 0. De acuerdo a la geometr´ıa de la figura,
la sustituci´on de los intervalos deber´
a hacerse de la siguiente forma:
Sea a tal que f (a) > 0 y b tal que f (b) < 0:
Si f (x0 ) > 0, entoncesx0 sustituye a a
Si f (x0 ) < 0, entonces x0 sustituye a b
En cada iteraci´
on deber´
a sustituirse alguno de los l´ımites del intervalo que contiene a la ra´ız. Repitiendo este proceso, el intervalo se reduce paulatinamente hasta que alguna de las aproximaciones
coincide razonablemente con la ra´ız de la funci´on.
El proceso se detiene cuando entre la aproximaci´on xi y la aproximaci´on anteriorxi−1 se satisface
un nivel de error (absoluto o relativo) preestablecido (tolerancia).

3.

Interpretaci´
on geom´
etrica

En la figura 1 puede observarse el intervalo [a, b] en el cual est´a contenida una ra´ız de la funci´
on.
Para este caso, se observa tambi´en que f (a) > 0 y que f (b) < 0 como consecuencia de la ra´ız
contenida en el intervalo; este desarrollo es v´alido si se desea definiruna funci´on decreciente en
lugar que la creciente que se propone, pero en todo caso debe conservarse que f (a) · f (b) < 0.

Figura 1: Bisectaci´on del intervalo [a, b]

Para el caso mostrado, al bisectar el intervalo se observa que la primera aproximaci´on x0 se ubic´
oa
la derecha de la ra´ız y por consecuencia f (x0 ) < 0; en virtud de esto, x0 deber´a sustituir al extremo
del intervalo b, deacuerdo a la figura 2. Una vez hecha esta sustituci´on, deber´a bisectarse el nuevo
intervalo hasta que dos aproximaciones sucesivas satisfagan la tolerancia preestablecida.

An´alisis num´erico

3

Figura 2: Actualizaci´on del intervalo [a, b]

4.

Criterio de convergencia

En todo caso, el m´etodo converger´
a siempre y cuando en toda iteraci´on se conserve: f (a) · f (b) < 0.

5.

Ejemplo de...