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2 NOTAS DE ALGEBRA ABSTRACTA
Aunque los tres conjuntos son de naturalezas diferentes podemos definir en
ellos operaciones (binarias) como las que, en efecto, definimos a continuaci´on:
• En ZZ, la adici´on usual de enteros asigna a cada par de enteros un entero
´unico (la suma de ellos). Esta operaci´on satisface las propiedades
siguientes:
Asociativa: Para tres enteros cualesquiera x, y,z se sigue que
x + (y + z) = (x + y) + z.
Conmutativa: Para cada par de enteros x, y se tiene
x + y = y + x.
Modulativa: Existe un m´odulo o elemento neutro, el cero, tal que
para cada entero x se tiene
x + 0 = 0 + x = x.
Invertiva: Cada entero x tiene un inverso aditivo, −x, el cual satisface
x + (−x) = −x + x = 0.
• En IR2×2, la adici´on usual de matrices satisface las mismaspropiedades
indicadas anteriormente. El m´odulo o elemento neutro es la matriz cero
0 0
0 0.
• En el conjunto Sym(S) una operaci´on binaria (Una “regla” que asocia a
cada par de elementos del conjunto un elemento ´unico del conjunto) es la
composici´on de funciones. El lector recordar´a que la funci´on id´entica,
IdS, es el neutro de tal operaci´on pues, en efecto
IdS ◦ ϕ = ϕ ◦ IdS = ϕ
IdS ◦ IdS =IdS
ϕ ◦ ϕ = IdS,
de donde se sigue que la operaci´on considerada es conmutativa e invertiva.
Cap´ıtulo 1. Preliminares
3 S. Casta˜neda
Tenemos as´ı que conjuntos de naturalezas dis´ımiles en apariencia, gozan de
propiedades comunes desde el punto de vista algebraico. Tales semejanzas son
objeto de estudio del Algebra Abstracta. Esas propiedades comunes dependen,
m´as que del conjunto ens´ı, de la operaci´on definida en el mismo. Los ejemplos
anteriores ilustran el concepto general de operaci´on binaria. Para conjuntos
no vac´ıos A,B y C, una funci´on
∗ : A × B −→ C
(una “regla” que asigna a cada par de elementos a ∈ A, b ∈ B un elemento
´unico ∗((a, b)) en C) es denominada una operaci´on binaria. Usualmente,
el elemento “im´agen” del par (a, b) es denotado por a ∗ b (l´ease “aoperado
con b mediante ∗”). Si A = B = C, como en los ejemplos considerados antes,
decimos que ∗ es una operaci´on binaria en A o una Ley de composici´on interna.
M´as generalmente, si A1,A2, . . . ,An y B son conjuntos no vac´ıos una funci´on
A1 × A2 × . . . × An −→ B
es denominada una operaci´on n− aria.
La denominaci´on de estructura algebraica la utilizaremos para uno o
m´as conjuntossobre los cuales se han definido operaciones. Generalmente la
notaci´on utilizada para referirse a una estructura algebraica dada especifica
tanto el o los conjuntos que “soportan” la estructura, como las operaciones
que la suministran. Los tres conjuntos considerados, con las operaciones y
propiedades indicadas, son ejemplos de una estructura algebraica denominada
GRUPO ABELIANO. Otrasestructura algebraicas de inter´es son: Ani-
llos, M´odulos, Campos y Espacios vectoriales. Las siguientes definiciones
generalizan algunas propiedades ya familiares para el lector.
Definici´on 1.1.1. Sean ∗ y ◦ operaciones binarias definidas sobre el conjunto
A, y sea B un subconjunto no vac´ıo de A.
1. ∗ es :
Conmutativa si para cada par x, y∈A:
x ∗ y = y ∗ x. (1.1)
Asociativa si para todaterna x, y, z en el conjunto A se tiene
x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z. (1.2)
1.1 Introducci´on
4 NOTAS DE ALGEBRA ABSTRACTA
Modulativa si existe un elemento e, denominado m´odulo o neutro,
tal que para cada x ∈ A :
x ∗ e = e ∗ x = x. (1.3)
Si se cumple x∗e = x para cada x ∈ A se acostumbra decir que e es
neutro a derecha. En forma similar, e es neutro a izquierda
si e ∗ x = x para todo x ∈ A.La ecuaci´on 1.3 dice entonces que e
es neutro a derecha e izquierda.
Invertiva si es modulativa y para todo elemento x ∈ A, existe un ele-
mento y ∈ A, tal que
x ∗ y = y ∗ x = e (1.4)
siendo e el elemento neutro para ∗.
Distributiva respecto de ◦, si para toda terna de elementos x, y, z en
A se tiene
x ∗ (y ◦ z) = (x ∗ y) ◦ (x ∗ z). (1.5)
∧
(y ◦ z) ∗ x = (y ∗ x) ◦ (z ∗ x). (1.6)
2....