Bombas caza bobos

Introducci´n a los n´meros reales o u
Prof. Yoel Guti´rrez e

1

Introducci´n o

Una teor´ matem´tica cuenta en su origen con conceptos primitivos (no definidos) a parıa a tir de los cuales pueden ser definidos los otros conceptos que vayan surgiendo. En nuestro caso, consideraremos los n´meros reales como un concepto primitivo. Las proposiciones u que, sin demostrar, se aceptan como ciertasse llaman axiomas y junto con los conceptos primitivos constituyen el punto de arranque y base de una teor´ matem´tica. ıa a Muchos de los resultados m´s importantes en Matem´ticas se llaman teoremas. En cona a traste con los axiomas o definiciones que se dan por supuestos, los teoremas si requieren de una demostraci´n. Un teorema es una proposici´n compuesta por otras dos. Una de ellas o ollamada premisa o hip´tesis implica la otra que se llama conclusi´n o tesis. La cadena de o o razonamientos l´gicos que permiten deducir la tesis a partir de la hip´tesis constituye lo o o que se llama demostraci´n del teorema. o Un teorema recibe el nombre de lema cuando por si mismo no tiene mucha trascendencia en la teor´ que se esta desarrollando pero va a ser usado, inmediatamente despu´s de su ıae formulaci´n, en la demostraci´n de otro teorema de marcada importancia. o o Un teorema recibe el nombre de corolario de otro teorema cuando es una consecuencia inmediata de ´l. e En algunos casos se nos pide si una afirmaci´n como la siguiente: o Para cualesquiera n´meros reales a, b, c y d se cumple que u si a > b y c > d, entonces a + c > b + d,

es verdadera o falsa. Ante una situaci´n como´sta es natural que comencemos probando con algunos casos o e particulares para observar si para ellos la proposici´n se cumple o no se cumple. o Ahora bien, las consecuencias de esta forma de proceder son muy distintas seg´n que las u pruebas sean positivas o negativas. En efecto, si comprobamos que la proposici´n se cumple para todos los casos particulares o que probemos a lo m´s que podemosllegar es a sospechar que es cierta, pero con ello no a hemos demostrado que la proposici´n lo es, pues, ¿qu´ sucede con los casos no considerados? o e 1

Introducci´n a los n´meros reales. o u

Yoel Guti´rrez - 2005 e

2

Si por el contrario, comprobamos que para un caso particular la proposici´n no se cumple, o este solo contraejemplo ya basta para refutarla. Mientras no se diga locontrario, las letras a,b,c,......u,v,w,x,y,z que aparecen en los axiomas y teoremas representan n´meros reales cualesquiera. u

2

Axiomas de cuerpo

Junto con el conjunto de los n´meros reales se supone la existencia de dos operaciones llau madas adici´n y multiplicaci´n, tales que para cada par de n´meros reales x e y se puede o o u formar la suma de x e y, que es otro n´mero real designado por x+ y y el producto de x u por y designado por xy o x.y. Estas dos operaciones satisfacen los siguientes axiomas: 1. PROPIEDAD CONMUTATIVA. x + y = y + x, xy = yx. 2. PROPIEDAD ASOCIATIVA. x + (y + z) = (x + y) + z, x(yz) = (xy)z. 3. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. x(y + z) = xy + xz. 4. EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS. Existen dos n´meros reales distintos, u que se indican por 0 y 1 tales que para cadan´mero real x se tiene: 0 + x = x + 0 = x u y 1.x = x.1 = x. 5. EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO. Para cada n´mero real x existe un unico u ´ n´mero real −x tal que (−x) + x = x + (−x) = 0. u 6. EXISTENCIA DEL INVERSO MULTIPLICATIVO. Para cada n´mero real x = 0 u 1 existe un unico n´mero real x−1 = = 0 tal que x−1 x = xx−1 = 1. ´ u x Las propiedades anteriores se han descrito, principalmente, ent´rminos de suma y multie plicaci´n. Ahora podemos definir las operaciones b´sicas de resta y divisi´n en t´rminos o a o e de las de suma y multiplicaci´n, respectivamente. o

2.1

Resta

La diferencia a − b de dos n´meros reales a y b, se define como u a − b = a + (−b) En forma alternativa decimos que a − b = c ←→ c + b = a

Introducci´n a los n´meros reales. o u

Yoel Guti´rrez - 2005 e...