Cálculo multivariable

ESCUELA POLITECNICA DEL EJERCITO

Departamento de Ciencias de la Tierra y la Construcci´n o

ANALISIS MATEMATICO III

Deber 6 Resoluci´n de ejercicios del o libro: C´lculo multivariable a

Esthefany Fernanda Alvaro Sotalin

Tercero A CIGMA

19 de julio de 2010

CAPITULO 13 FUNCIONES VECTORIALES

SECCION 13.1: Funciones vectoriales y curvas en el espacio

1-2 Halle el dominio dela funci´n vectorial. o √ √ 1. r(t) = t2 , t − 1, 5 − t t2 : Df1 = √ t−1: t−1 ≥ 0 t ≥ 1 Df2 = [1, +∞) √ 5−t: 5−t ≥ 0 −t ≥ −5 t ≤ 5 Df3 = (−∞, 5]

Df

= [1, 5]

1

2. r(t) = ln ti + ln t :

t t−1 j

+ e−t k

Df1 = (0, +∞)

t t−1

: t−1 = 0 t = 1 Df2 = − {1}

e−t :

Df3 =

Df

= (0, +∞) − {1}

3-6 Halle el l´ ımite. 1. l´ t→0+ cos t, sin t, t ln t ım l´ t→0+ cos t = 1ım l´ t→0+ sin t = 0 ım

2

l´ t→0+ t ln t = 0 ım l´ r(t) = ım 1, 0, 0

t→0+

2. l´ t→0 ım

et −1 t ,

√

1+t−1 3 , 1+t t

l´ t→0 ım

et −1 t

et − 1 t→0 t l´ ım

= l´ ım = 1

t t→0 t

√

l´ t→0 ım

1+t−1 t

√
t→0

l´ ım

1+t−1 t

= l´ ım

√1 2 1+t

t→0

1

1 = l´ ım √ t→0 2 1 + t =
3 1+t

1 2

l´ t→0 ım

=3 1 1, , 3 2

t→0

l´ r(t) = ım3. l´ t→1 ım

√

t + 3i + √

t−1 j t2 −1

+

tan t t k

l´ t→1 ım

t+3=2

3

l´ t→1 ım

t−1 t2 −1

t−1 t→1 t2 − 1 l´ ım

= l´ ım 1 2

t−1 t→1 (t + 1)(t − 1)

=

l´ t→1 ım

tan t t

= tan 1 1 2i + j + tan 1k 2

t→1

l´ r(t) = ım

4. l´ t→∞ e−t i + ım l´ t→∞ e−t ım

t−1 t+1 j

+ tan−1 tk

t→∞

l´ e−t = ım

1 t→∞ et l´ ım

= 0

l´ t→∞ ım

t−1t+1

=1

l´ t→∞ tan−1 t = ım

π 2

t→∞

l´ r(t) = ım

j+

π k 2

4

7-12 Relacione las ecuaciones param´tricas con las gr´ficas (mare a cadas I-VI). 1. x = cos t, y = t, z = sin(4t) Gr´fica V a

2. x = t2 − 2,

y = t3 ,

z = t4 + 1 Gr´fica VI a

5

3. x = t,

y=

1 , 1+t2

z = t2 Gr´fica I a

4. x = sin(3t) cos t,

y = sin(3t) sin t,

z=t

Gr´fica III a

65. x = cos t,

y = sin t,

z = sin(5t) Gr´fica IV a

6. x = cos t,

y = sin t,

z = ln t Gr´fica II a

7

13-20 Trace la curva con la ecuaci´n vectorial dada. Indique o con una flecha la direccion en la que aumenta t 1. r(t) = t4 + 1, t

2. r(t) = t3 , t2

8

3. r(t) = t, −t, 2t

4. r(t) = sin t, t, cos t

9

5. r(t) = sin t, 3, cos t

6. r(t) = ti + tj + cos tk7. r(t) = t2 i + t4 j + t6 k

10

8. r(t) = sin ti + sin tj +

√

2 cos tk

SECCION 13.2: Derivadas e integrales de funciones vectoriales

9-16 Encuentre la derivada de la funci´n vectorial. o √ 1. r(t) = t2 , 1 − t, t 1 2t, −1, √ 2 t

r (t) =

2. r(t) = cos(3t), t, sin(3t) r (t) = −3 sin(3t), 1, 3 cos(3t)

3. r(t) = i + j − e4t k r (t) = −4e4t k

11

4. r(t) = sin−1 ti +√

1 − t2 j + k 1 1 √ i+ √ (2t)j 2 1−t 1 − t2 1 t √ i+ √ j 2 1−t 1 − t2

r (t) =

r (t) =

5. r(t) = ln(4 − t2 )i +

√

1 + tj + k 1 1 (−2t)i + √ j − 4e3t (3)k 2 4−t 2 1+t −2t 1 j − 12e3t k i+ √ 2 4−t 2 1+t

r (t) =

r (t) =

6. r(t) = ln(4 − t2 )i +

√

1 + tj + k 1 1 (−2t)i + √ j − 4e3t (3)k 4 − t2 2 1+t −2t 1 i+ √ j − 12e3t k 2 4−t 2 1+t

r (t) =

r (t) =

7. r(t) =e−t cos ti + e−t sin ij + ln |t| k d −t e cos t dt = e−t (−1) cos t + e−t (− sin t) = −e−t cos t − e−t sin t d −t e sin t dt = e−t (−1) sin t + e−t cos t = −e−t sin t + e−t cos t 12

d [ln |t|] = dt r (t) =

1 t

1 −e−t cos t − e−t sin t i + −e−t sin t + e−t cos t j + k t

8. r(t) = a + tb + t2 c

r (t) = b + 2tc

9. r(t) = ta × (b + tc)

r (t) = a × (b + tc) + ta × (c) r (t) = (a× b) + t(a × c) + t(a × c) r (t) = (a × b) + 2t(a × c)

33-38 Evalue la integral. 1.
1 0

ti + t2 j + t3 k dt
1

ti + t2 j + t3 k dt =
0

t3 t4 t2 i+ j+ k 2 3 4 1 1 1 i+ j+ k 2 3 4

1 0

=

13

2.

2 1

1 + t2 i − 4t4 j − t2 − 1 k dt t3 3 t5 j− 5 i−4 t3 −t k 3 32 1 − 5 5
2 1

=

t+

i − (4)

=

2+

8 1 −1− 3 3

j−

8 1 −2− +1 k 3 3

=

124 4 10 i− j−...