Cálculo

Funciones de Bessel - F´rmulas
o
Resumen
Se dan f´rmulas relacionadas con las funciones de Bessel de primera, segunda y tercera especie,
o
las funciones de Bessel modificadas y las funciones esf´ricas de Bessel.
e

Funciones de Bessel de 1a especie

1.
1.1.

Ecuaci´n de Bessel
o

La ecuaci´n de Bessel de orden ν es
o
z 2 u (z ) + z u (z ) + (z 2 − ν 2 ) u(z ) = 0 .

(1)Cuando ν no es un n´mero entero, la soluci´n general es de la forma
u
o
u(z ) = A Jν (z ) + B J−ν (z ) ,
donde A y B constantes y

∞

Jν (z ) =

bessel.nb

j =0

(−1)j
Γ(j + 1) Γ(j + ν + 1)

(2)

z
2

2j +ν

(3)

Si ν es un n´mero entero, v´ase la secci´n dedicada a las funciones de Neumann (funciones de Bessel de
u
e
o
2a especie).

1.2.

Propiedades

1
0.8
0.60.4
0.2

J0 HzL

J1 HzL

2

J2 HzL
4

6

-0.2
-0.4
1

8

z

Funciones de Bessel – A.Nieto

2

1.
J1/2 (z )
J−1/2 (z )

2
sin z
πz
2
cos z
πz

=
=

(4)
(5)

2. Cuando |z | → 0,
J0 (z ) ≈

z
2

1−

2

(6)
ν

1
z
Γ(ν + 1) 2
z
J0 (z ) ≈ −
2
z ν −1
1
Jν (z ) ≈
2Γ(ν ) 2
Jν (z ) ≈

ν=0

(7)
(8)

ν=0

(9)

3. Para las funcionesde Bessel de orden entero n:
=

Jn (−z )

(−1)n Jn (z )

(10)

=

J−n (z )

n

(11)

(−1) Jn (z )

4. Relaciones de recurrencia
Jν −1 (z ) + Jν +1 (z )

=

Jν −1 (z ) − Jν +1 (z )

=

o, de forma equivalente,
Jν ±1 (z ) =

ν
Jν (z )
z

2ν
Jν (z )
z
2Jν (z )

(12)
(13)

Jν (z )

5. F´rmula wronskiana
o
Jν (z ) J−ν (z ) − Jν (z ) J−ν (z ) =

(14)−2 sin(πν )
πz

(15)

6.
d
z ν Jν (z )
dz
d
z −ν Jν (z )
dz
7.

b

z Jν (kz )Jν (lz ) dz =
a

= z ν Jν −1 (z )

(16)

= −z −ν Jν +1 (z )

(17)

1
lz Jν (kz )Jν (lz ) − kz Jν (lz )Jν (kz )
k 2 − l2

8.
2
z Jν (kz ) dz =

1 2 ν2
z2
2
z − 2 Jν (kz ) +
J (kz )
2
k
2ν

b

(18)
a

2

(19)

9. La funci´n generatriz de las funci´nes de Bessel de 1a especiees
o
o
g (z, t) ≡ exp

z
2

t−

1
t

+∞

Jn (z ) tn

=
n=−∞

(20)

Funciones de Bessel – A.Nieto

3

10.

+∞

Jn (x + y ) =

Jk (x) Jn−k (y )

(21)

Jn (z ) einθ

(22)

k=−∞

11.

+∞

e

iz sin θ

=
n=−∞

o
+∞

cos(z sin θ)

= J0 (z ) + 2

J2k (z ) cos(2kθ)

(23)

J2k+1 (z ) sin [(2k + 1)θ]

(24)

k=1
+∞

sin(z sin θ)

=2
k=0

(25)
12. Representaci´n integral de Schl¨fli:
o
a
Jn (z ) =

1
2πi

C

e(z/2)(t−1/t)
dt
tn+1

(26)

donde el contorno C es de la forma
t

C

En general
Jν (z ) =

1
2πi

C

e(z/2)(t−1/t)
dt
tν +1

(27)

donde con el contorno C es de la forma
t

C

Funciones de Bessel – A.Nieto

4

Tambi´n
e
Jn (z )
Jn (z )

1.3.

=
=

1
2π
1
ππ

ei(z sin θ−nθ) dθ

(28)

−π
π

cos(z sin θ − nθ) dθ

(29)

0

Ortogonalidad de la funci´n de Bessel de 1a especie
o

Denotemos como xνk el k -´simo cero de la funci´n de Bessel Jν (x): Jν (xνk ) = 0. Denotemos como
e
o
xν k el k -´simo cero de la derivada de la funci´n de Bessel Jν (x): Jν (xν k ) = 0.
e
o
Consideremos el intervalo 0 ≤ x ≤ a. Entonces, los conjuntos defunciones
xνk
Jν
x
(30)
a
y
xν k
Jν
x
(31)
a
son ortogonales con peso x en dicho intervalo:
a

x Jν
0
a

x Jν
0

xνl
a2
xνk
x Jν
x dx =
J (xνk )
a
a
2ν

xν k
x Jν
a

2

δkl

a2
xν l
ν2
x dx =
1−
J 2 (x ) δkl
a
2
(xν k )2 ν ν k

(32)
(33)

Funciones de Bessel de 2a especie: Funciones de Neumann

2.
2.1.

Definici´n
o

2.2.

ν = 0, 1, 2,. . .




 l´ cos(sπ )Js (z ) − J−s (z )
 ım
s→ν
sin(sπ )

Nν (z ) ≡


 cos(νπ )Jν (z ) − J−ν (z )




sin(νπ )

ν = 0, 1, 2, . . .

(34)

Ecuaci´n de Bessel de Orden Entero
o

La ecuaci´n de Bessel de orden entero n es
o
z 2 u (z ) + zu (z ) + (z 2 − n2 )u(z ) = 0 .

(35)

La soluci´n general es de la forma
o
u(z ) = AJn (z ) + BNn (z ) ,

(36)...