Calculo

Solo disponible en BuenasTareas
  • Páginas : 6 (1278 palabras )
  • Descarga(s) : 0
  • Publicado : 1 de diciembre de 2010
Leer documento completo
Vista previa del texto
Ejercicios de la ecuación de la recta tangente y normal
1Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
y = xm= 1
f'(a) = 1.

2Dada la curva de ecuación f(x) = x2 − 3x − 1, halla lascoordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.
Dada la curva de ecuación f(x) = x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

3Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x =1, x = 2 sean paralelas.
Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.
Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.
f'(1) = f'(2)
f'(x) = 3b2x2 + 2bx + 3
f'(1) = 3b2 + 2b + 3
f'(2) = 12b2 + 4b + 3
3b2 + 2b + 3 = 12b2 +4b + 3
9b2 + 2b = 0
b = 0 b = −2/9
4Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX.
Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX.
y' = 3x2 − 6x − 9;     x2 − 2x − 3 = 0 (simplificando por 3)
x1 = 3 y1 = −22
x2 = −1y2 = 10
A(3, −22) B(−1, 10)
5Se ha trazado una recta tangente a la curva y=x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.
5
Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
f' (x)= 3x2f' (a)= 3a2
3a2=3a = ±1
Las ecuaciones de la rectas tangentes son:
a = 1 f(a) = 1
y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2
a = −1 f(a) = −1y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2   
El punto (0, −2) pertenece a la recta  y = 3x−2.
Por tanto el punto de tangencia será (1, 1) .
Teorema de rolle y lagrange
. Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la función:

En primer lugar comprobamos que la función es continua en x = 1.

En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1.

Como lasderivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.
2.¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 − x2) en el intervalo [−2, 2]?
En primer lugar calculamos el dominio de la función.

La función es continua en el intervalo [−2, 2] y derivable en (−2, 2), porque los intervalos están contenidos en .
Además secumple que f(−2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

3.Comprobar que la ecuación x7 + 3x + 3 = 0 tiene una única solución real.
La función f(x) = x7 + 3x + 3 es continua y derivable en ·
Teorema de Bolzano.
f(−1) = −1
f(0) = 3
Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (−1, 0).
Teorema de Rolle.
f' (x) = 7x6 + 3
Como la derivada no se anula enningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por tanto sólo tiene una raíz real.
4.¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = x3 en [−1, 2]?
f(x) es continua en [−1, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

5.Comprobar si se cumplen las hipótesis del teorema de Cauchy para las funciones f(x) = x3 y g(x) = x + 3 en el intervalo [0,2].
Las funciones f(x) y g(x) son continuas en el intervalo [0, 2] y derivables en (0, 2), por ser funciones polinómicas.
Y además g(0) ≠ g(2).

Como g' (0) = 0 no se puede aplicar el teorema de Cauchy.

Función creciente y de creciente
Ejemplo 1
Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación .
Para ello calculemos la primera derivada de .
Como ↔ , o sea si...
tracking img