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Ejemplo. Para estirar un resorte 1 cm se necesita una fuerza de 1 kgf ¿qué trabajo habrá que aplicar para estirarlo 6 cm?
Solución. Por la ley de Hooke sabemos que la fuerza F aplicada al resorte es proporcional al estiramiento x, es decir:
F = kx
Sustituyendo F = 1 kgf y x = 0.01 m, obtenemos:
1 = (0.001)k ⇒ k = 100
así pues la función fuerza estará dada por
F(x) = 100x
Cuya gráfica es: 
 
[pic]
Obtendremos una aproximación para cada n natural, dividiendo el intervalo [0, 0.06] en n partes iguales, cada una de longitud 0.06/n. Si n es muy grande, podemos suponer que en cada subintervalo la fuerza no varía sensiblemente por lo que podemos suponerla constante e igual a la fuerza en el extremo izquierdo.
Bajo este supuesto, el valor del trabajo será aproximadamente igual a lasuma de los trabajos en cada subintervalo
[pic]
 
[pic]
 
[pic]
y el valor exacto del trabajo se conseguirá al tomar el límite cuando n tiende a infinito.
[pic]
Por lo tanto el trabajo requerido para estirar el resorte 6 cm es W = 0.18 kgf m.








Ejemplo. Un móvil parte del reposo y su velocidad en cada instante t viene dada por V(t)=2t . Encuentre la distancia recorrida en cadainstante t.
Solución. Como en el caso anterior, dividimos el intervalo [0, t] en n partes iguales y podemos suponer que en cada pequeño subintervalo la velocidad es constante e igual a la velocidad en el extremo izquierdo.
[pic]
 
 
 
[pic]
El intervalo [0,t] quedará dividido por los puntos: 0, t/n, 2(t/n), 3(t/n), ..., (n-1)(t/n), n(t/n) = n y la distancia recorrida en el tiempo t seráigual a la suma de las distancias recorridas en cada uno de los subintervalos.
Así pues
d(t) = 0(t/n) + 2(t/n)(t/n) + 2(2t/n)(t/n) + 2(3t/n)(t/n) + ... + 2((n-1)t/n)(t/n)
[pic][pic]
y el valor exacto es:
[pic]
 
Así pues, si V(t) = 2t , entonces d(t) = t2




Ejemplo. Encuentre el área bajo la gráfica de f(x) = x2 en el intervalo [0,1].
Solución:
El procedimiento consistirá en dividirel intervalo en n partes iguales, y sobre cada uno de los subintervalos así formados, levantar rectángulos que nos permitan aproximar por abajo el área, es decir, debemos levantar en cada subintervalo un rectángulo de altura igual a la imagen del extremo izquierdo. En la figura de abajo se muestras aproximaciones con subdivisiones en 5 y 12 partes iguales respectivamente.
[pic]
 
Como seaprecia en estas figuras, la suma de las áreas de los rectángulos son una aproximación al área bajo la curva y entre mayor sea el número de subdivisiones del intervalo, mejor será la aproximación. A continuación se muestran las aproximaciones I5 e I12
I5 = (1/5)(0) + (1/5)(1/5)2 + (1/5)(2/5)2 + (1/5)(3/5)2 + (1/5)(4/5)2 = 0.24
I12 = (1/12)(0) +(1/12)(1/12)2 + (1/12)(2/12)2 + ... + (1/12)(11/12)2 =0.292824












Si f es una función monótona creciente, consideramos la diferencia S n - I n  y gráficamente podemos ver que
S n - I n representa el área de la columna de la derecha, en la siguiente gráfica, es decir:
S n - I n = [pic][f(b) - f(a)].
[pic]
Si hacemos crecer n, el número de subdivisiones del intervalo, la diferencia S n - I n se va acercando a cero, es decir, enla figura vemos que la base de la columna de la derecha tiende a cero y la altura se mantiene constante, y por lo tanto el área de la columna tiende a cero, es decir,
[pic]
o bien
[pic]
Por ser estos límites iguales diremos que la función f es INTEGRABLE en el intervalo [a,b], y al valor común de estos límites le llamaremos LA INTEGRAL de f sobre el intervalo [a,b], y la denotaremos por:
[pic]Observación. La expresión encontrada por métodos geométricos para la diferencia S n - I n cuando f es positiva,
S n - I n = [pic][f(b) - f(a)]
Puede verificarse en general para cualquier función creciente, no necesariamente positiva, de la siguiente manera:
S n = f(x1) Δ x + f(x2) Δ x + f(x3) Δ x + ... + f(x n-1) Δ x + f(x n) Δ x
                                            I n = f(xo) Δ x...