cónicas

´
LAS CONICAS Y SUS APLICACIONES
Pedro Alegr´ (pedro.alegria@ehu.es)
ıa

Adem´s de las rectas, c´
a
ırculos, planos y esferas que conoce cualquier estudiante de
Euclides, los griegos sab´ las propiedades de las curvas que se obtienen al cortar un
ıan
cono con un plano: la elipse, la par´bola y la hip´rbola. Kepler descubri´ al analizar
a
e
o
sus observaciones astron´micas -y Newtonlo demostr´ matem´ticamente sobre la
o
o
a
base de la ley universal de la gravitaci´n- que los planetas describen elipses. As´ se
o
ı
hizo de la geometr´ de la Grecia antigua piedra angular de la astronom´ moderna.
ıa
ıa
J. L. Synge (1897-1995)

´
INDICE
1. Origen de las c´nicas.
o
2. Distintas definiciones de c´nica.
o
3. Construcci´n de c´nicas.
o
o
4. Propiedades reflexivas.5. Los ´valos.
o
6. Clasificaci´n de una c´nica.
o
o
7. Propiedades varias.
8. C´nicas en la vida real.
o

1

1.

´
ORIGEN DE LAS CONICAS.

Como ha sucedido en numerosas ocasiones, importantes creaciones en matem´ticas no tuvieron
a
un origen que pronosticara su relevancia posterior. Uno de estos casos es el de las conocid´
ısimas
c´nicas, en un principio estudiadas casi porsimple diversi´n, pero de tan variadas aplicaciones
o
o
en muchas ramas de la ciencia. Como es sabido, fue Apollonius de Perga, en el siglo III a.C. el
primero que las introdujo p´blicamente, escribiendo el m´s importante tratado antiguo sobre
u
a
las secciones c´nicas, aunque ya en el siglo anterior Menaechmus hab´ escrito el primer tratado
o
ıa
sobre c´nicas. Lo que no es tan conocidoes que el motivo que origin´ esta craci´n no fue
o
o
o
precisamente el de explicar las ´rbitas de los planetas ni construir aparatos de radar, sino el de
o
buscar soluciones s´lo con regla y comp´s de los tres famosos problemas griegos que hoy sabemos
o
a
irresolubles, como son el de la duplicaci´n del cubo, la trisecci´n del ´ngulo y la cuadratura del
o
o
a
c´
ırculo.
Durante muchossiglos, las c´nicas fueron descartadas en los trabajos de los matem´ticos hasta
o
a
que volvieron s´bitamente a la vida, al comprobarse que el mundo que nos rodea est´ lleno de
u
a
secciones c´nicas. En la elipse encontr´ Kepler la respuesta al enigma del movimiento planetario,
o
o
descubriendo que el planeta Marte (ahora sabemos que al igual que el resto de los planetas) tiene
orbitasel´
´
ıpticas y el sol est´ situado en uno de sus focos (de ah´ el nombre dado a estos puntos).
a
ı
En base a este descubrimiento Newton enunci´ la famosa ley de la gravitaci´n universal; as´ el
o
o
ı
descubrimiento de Kepler se deduce como consecuencia matem´tica de dicha ley. Tambi´n los
a
e
sat´lites y los cometas tienen ´rbitas el´
e
o
ıpticas, de mayor o menor excentricidad, locual es es en
cierto modo providencial, pues si se tratara de hip´rbolas o par´bolas, no volver´ a repetir su
e
a
ıan
ciclo. As´ mismo, Galileo demostr´ que las trayectorias de los proyectiles son parab´licas.
ı
o
o

1.1.

Trisecci´n de un ´ngulo.
o
a

Hoy en d´ la propiedad menos importante de estas curvas, en vista de su utilidad para el
ıa,
mundo matem´tico, es precisamenteque cierto par de par´bolas permite la duplicaci´n del cubo
a
a
o
y cierta hip´rbola permite trisecar un ´ngulo. Como la belleza no est´ re˜ida con el inter´s,
e
a
a n
e
veremos con cierto detalle esta ultima construcci´n, desechada por los mismos griegos, debido a
´
o
que las mismas c´nicas no se pueden construir con regla y comp´s.
o
a
Sea α un ´ngulo arbitrario. Se construye lacircunferencia de centro O y radio OA = OB de
a
modo que AOB = α. Sea la recta OC bisectriz de α. Con OC como directriz y B como foco, se
construye una rama de hip´rbola de excentricidad e = 2. Sea P el punto de intersecci´n de la
e
o
hip´rbola con el arco de circunferencia AB. An´logamente se obtiene el punto P utilizando A
e
a
como foco. La situaci´n actual se representa en la figura...