Cónicas

Cónicas: ¿Cómo se originan?
existe un grupo de curvas muy interesantes compuesto por la parábola, la elipse, la hipérbola y la circunferencia, que en conjunto son denominadassecciones cónicas o simplemente cónicas.
El nombre de cónica proviene de que cada una de estas curvas es el resultado de cortar (o intersecar) un cono con un plano. Dependiendo de lainclinación de dicho plano respecto alcono, el resultado será una curva u otra. Este hecho se puede apreciar de manera muy intuitiva en la siguiente imagen.
Una cosa que quizás puede resultar un poco trivial pero que no está de sobra explicar, es que un cono completo no tiene la forma de los conos que se utilizan para regular el tráfico, que es un concepto erróneo muy común. De hecho, los conos de tráfico serían tan solo una región de laparte inferior de un cono completo. Un cono completo es simétrico y con altura infinita, y su forma se asemeja al de la imagen superior en azul.
Pero pasemos a ver cada una de las secciones por separado:
Circunferencia: nace de la intersección de un cono y un plano cuando dicho plano es paralelo al eje horizontal del cono. El radio de la circunferencia dependerá de la altura a la que se realiceel corte, dando como resultado desde un solo punto (cuando el corte se realiza en el punto medio del cono) hasta una circunferencia de radio infinito.
Elipse: nace cuando el corte es realizado con una angulación, que es importante que sea lo suficientemente pequeña como para que el plano corte por completo al cono y se obtenga como resultado una curva cerrada. Su tamaño dependerá de la inclinación:a mayor inclinación, mayor será la elipse.




Parábola: cuando el corte se realiza con suficiente angulación como para que el exterior de la cónica no se interseque por completo, si no que haya una parte de ese plano que se pierda en la zona interior del cono y no lo llegue a cortar. Es decir, el resultado es una curva abierta.
Hipérbola: se origina cuando el plano intersecante se encuentraparalelo al eje vertical del cono, y se obtiene como resultado dos curvas abiertas y simétricas. Cuanto más cercano al origen sea el corte, más próximas estarán las dos curvas, y viceversa.

Las cónicas son fundamentales en los estudios de astronomía, y también tienen grandes aplicaciones en la industria. Además tienen un peso muy importante en las matemáticas, la física y la arquitectura.
No hemosentrado en detalle de las propiedades de cada sección cónica, porque son curvas tan interesantes, que cada una de ellas se merece un post propio, que iremos publicando próximamente. Pero como introducción, hemos visto muy interesante empezar esta serie de artículos sobre cónicas explicando su origen.


Determinar la cónica que representa cada ecuación: 

1.- 3x^2 + 5y^2 +4 x - 15y + 9 = 0 Solución: 

Como en la ecuación dada no se tiene el término en (xy), osera que B=0, se aplica el criterio del inciso a): 

-Como A=3 y C=5 (son del mismo signo), la cónica es una ELIPSE. 

-Sus ejes son paralelos a los ejes coordenados x, y. 

-Los coeficientes D=4 y E=-15 indican que el centro de la elipse se localiza fuera del origen de coordenadas x, y. 

-El termino independiente F=9 indica que laelipse no pasa por el origen. 


2. - 21x^2 – 13 y^2 - 7x – 8y + 123 = 0 
Solution: 

-Como B=0, A=21 y C=13 (son de signos contrarios) la cónica representa una HIPERBOLA. 

-Sus ejes son paralelos a los ejes coordenados x, y. 

-Como D=-7 y E=-8 indican que la hipérbola no pasa por el origen. 

3.- 3x^2 + 3y^2 – 21x -14y – 114 = 0 
Solución: 

-Como B=0, A=C=2 (son iguales), la cónica representa unaCIRCUNFERENCIA. 

- D=-21 y E=-14 indica que el centro de la circunferencia se localiza fuera del origen de coordenadas x, y. 

-El termino independiente F=-114 indica que la circunferencia no pasa por el origen. 

4.- 2y^2 – x – 12 y + 7 = 0 
Solución: 

-Como B=0, A=0 y C=2 esto indica que la cónica es una PARABOLA. 

-Su eje es paralelo al ese de las x. 

-Como D=-1 y E=-12, el vértice de la...