CAD IReales


LOGROS ESPERADOS:

Plantean, resuelven y proponen actividades de aprendizaje sobre la aritmética de los números reales para resolver ecuaciones y para resolver problemas en diferentes contextos.Guías de trabajo autónomo 1 y 2



Admitiremos entonces la existencia de un conjunto  cuyos elementos se llamaran numeros reales que tienen las siguientes operaciones fundamentales:
Para la suma o adicion:  y el producto o multiplicacion:  en consideraremos los siguientes axiomas:
i) , ,  ii)  es grupo abeliano
iii)  es grupo abelianoiv) Distributividad: 
Diremos entonces que si el conjunto  provisto de todos los axiomas dados anteriormente es un Cuerpo y se escribe;  .
Los elementos neutros de  son el  y el  (para la adicion y multiplicacion respectivamente) pero nunca hemos puesto en duda que estos son los unicos con esta propiedad.
En efecto,  es el neutro multiplicativo, segun establece la proposicion

Enlos numeros reales tenemos:

i) El neutro aditivo es unico
ii) El neutro multiplicativo es unico
iii) El inverso aditivo de un numero real es unico
iv) El inverso multiplicativo de un numero real no nulo es unico

Sin duda, que esta será la primera demostracion de unicidad y siendo así es bueno hacer notar que muchas veces deberemos probar que algun ente matematico es unico. Lo usual en estoscasos es usar el metodo del absurdo que consiste en suponer (en estos problemas) que hay dos elementos (es decir, que no es unico) que cumplen la propiedad que los define (por ejemplo ser neutro) y bajo este supuesto llegar a una frase matematica que sea falsa.
Demostracion: (i)Supongamos que    son dos neutros aditivos distintos 

Como , en particular se puede tomar  
Analogamenteconsiderando    por transitividad
,  lo que hace una contradicci\on con 

Les dejo como ejercicio las demostraciones de las partes (ii), (iii) y (iv) de la proposicion.

 indica el inverso multiplicativo del numero real no nulo . Con los axiomas de cuerpo les demostraré algunas propiedades basicas de .
Sean , entonces: i) ii) iii) iv) v) vi) vii)Demostración: 
i) Como  y  son números reales,   también es un número real. Así, por axioma, este último tiene su inverso aditivo que es , por lo tanto 
, por conmutatividad, asociatividad, axioma del inverso y neutro
esta última igualdad nos dice que también  es inverso de . De esta forma, por unicidad del inverso aditivo, se tiene que 

ii) Poraxioma del inverso aditivo existe  y  y observen que 
y   igualdades que nos dicen que tanto  como  son inversos aditivos de ; en consecuencia, por unicidad

Demuestren ustedes (iii) y (iv) cambiando suma por multiplicacion y naturalmente cambiando la notacion de inverso aditivo a inverso multiplicativo.
v) Puesto que por axioma del neutro aditivo entoncestenemos por distributividad luego . Sumando a ambos miembros de la ecuación el inverso aditivo del número real , asociando debidamente, y por la propiedad del neutro e inverso aditivo se tiene que :

luego 
vi) La demostración consiste en probar que  y  son inversos aditivos del mismo número:
Claramente podemos ver que  es el inverso de    luego Por otro lado por la propiedad de distributividad, axioma del inverso aditivo y por tenemos  
luego igualdad que nos dice que  también es inverso de , así, por unicidad del inverso de  




Además, por conmutatividad, se tiene que ...