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ESIQIE-IPN

CALCULO SUPERIOR

ACADEMIA DE MATEMATICAS
ANGELINA ROSARIO GUZMÁN SÁNCHEZ
IGNACIO ELIZALDE MARTÍNEZ
AURELIO HERNÁNDEZ RAMÍREZ

INDICE
Capitulo I | Tensores | Pag. 1 |
Capitulo II | Cálculo Vectorial | Pag. 22 |
Capitulo III | Variable Compleja | Pag. 133 |

CAPITULO I
TENSORES

ESPACIO VECTORIAL
Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío con dosoperaciones definidas: (1) suma entre sus elementos y (2) multiplicación por escalares*; con las siguientes propiedades:
SUMA
Sean u, v y w elementos del espacio vectorial. Entonces:
1. u + v = v + u → conmutatividad
2. (u + v) + w = u + (v + w) → asociatividad
3. Debe existir un elemento 0 tal que u + 0 = u → elemento neutro
4. Para cada u elemento del conjunto debe existir unelemento -u tal que u + (-u) = 0 → inverso
MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES
Sean α y β escalares y v y w elementos del espacio vectorial. Entonces:
1. α (βv)=( αβ)v → asociatividad respecto a escalares
2. Debe existir el escalar 1 tal que 1v=v
3. α(v + w)= αv + αw → distributividad respecto a vectores
4. (α + β)w= αv + βv → distributividad respecto a escalares
A los elementos de unespacio vectorial se les llama vectores
Nota: los escalares son elementos de un campo*, generalmente los números reales o complejos.

PRODUCTO INTERNO
Se dice que el espacio vectorial es un espacio vectorial con producto interno si se define un producto entre los vectores con las propiedades:
I1 v∙w=w∙v
I2 u∙v+w=u∙v+u∙w
I3 αv∙w=(αv)∙w
I4 v∙v≥0; v∙v=0 si y solo si v=0

En este textoabordaremos varios casos de espacios vectoriales con producto interno:
1. Números reales
2. Tensores
3. Vectores espaciales
4. Matrices
5. Números complejos
Base de un espacio vectorial
En los espacios vectoriales existe un concepto particularmente útil, la base, concepto que a su vez requiere de la definición de independencia lineal.
Sean α1, α2 y α3 escalares. Se dice que losvectores v1 , v2 y v3 son linealmente independientes, si toda combinación lineal de ellos igual a cero implica que todos los escalares sean cero:
α1v1+α2v2+…+αnvn=0↔α1= α2=…=αn=0 (1)
Esto significa que ninguno de los vectores vi puede despejarse en términos de los otros. En efecto, si quisiéramos despejar por ejemplo v1, tendríamos que dividir entre α1, que es cero. Como la división por cero noestá definida, no podemos llevar a cabo el despeje. Ya que ninguno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los otros, se dice que son linealmente independientes.
La base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores linealmente independientes que “generan” al espacio. Esto último quiere decir que cualquier vector del espacio puede escribirse como una combinación lineal delos elementos de la base.

v=β1v1+β2v2+…+βnvn
El número de elementos de la base es la dimensión del espacio vectorial; en el caso que hemos ilustrado, la dimensión es n. Cabe mencionar que existen espacios vectoriales de dimensión infinita.
La base de un espacio vectorial no es única, es decir, un espacio vectorial dado puede tener diferentes representaciones.
Las bases puede clasificarsede acuerdo a sus propiedades en:
1. Bases ortogonales. Aquéllas en donde el producto interno de cualquier par de los elementos de la base es cero. Pongamos como ejemplo la base de los vectores espaciales de dimensión 3: i, j y k, con el producto escalar de vectores.
2. Bases normales. Se dice de aquéllas en donde el producto interno entre cualquier pareja de elementos de la base es uno.Considere el mismo ejemplo del caso anterior
3. Bases constantes. Cuando los elementos de la base no cambian. Mismo ejemplo que en los puntos 1 y 2.
4. Bases variables. Si los elementos de la base, aunque conservan su definición, pueden ser diferentes de punto a punto. Ejemplo: base vectorial del sistema de coordenadas polares, con los vectores base r y .
Estas propiedades se analizarán...