Calcul UAB

Miquel Llabr´s
e
Departament de Matem`tiques
a
Universitat Aut`noma de Barcelona
o

´
Index
1 Funcions d’una variable real
1.1 Conceptes b`sics . . . . .
a
1.2 Operacions amb funcions .
1.3 Funcions elementals . . . .
1.4 Continu¨
ıtat . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
..
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

1
1
2
4
12

2 C`lcul diferencial
a
2.1 Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Teorema del valor mig. Intervals de creixement
2.3 Extrems relatius . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Convexitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 L´
ımits indeterminats. Regles de l’Hˆpital. . . .
o

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

13
13
17
20
24
28

.
.
.
.

32
32
37
38
51

.
.
.
.
.

58
58
59
65
68
71

3 C`lcul integral
a
3.1 Integral deRiemann . . .
3.2 Primitives . . . . . . . . .
3.3 El teorema Fonamental del
3.4 Aplicacions de la integral .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

. . . .
. . . .
C`lcul
a
. . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.4 Equacions diferencials
4.1 Noci´ d’equaci´ diferencial . . . . . . . . . . .
o
o
4.2 Equacions diferencials de primer ordre . . . .
4.3 Equacions diferencials lineals d’ordre arbitrari
4.4 E D lineals homog`nies a coeficients constants
e
4.5 M`tode dels coeficients indeterminats . . . . .
e

i

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
..

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

Cap´
ıtol 1
Funcions d’una variable real
1.1Conceptes b`sics
a

Definici´ 1.1.1
o
Una funci´ real d’una variable real ´s una aplicaci´ entre dos subconjunts del conjunt
o
e
o
dels nombres reals, R.
2
En el cas d’una funci´ real d’una variable real (que d’ara endavant d’anomenar` funci´
o
a
o
real o m´s simplement funci´) f : A −→ B, s’anomena
e
o
• Domini de la funci´: al conjunt de sortida A. En el cas que la funci´ vinguidefinida
o
o
per una equaci´ i no s’especifiqui el conjunt de sortida es considerar` com domini
o
a
de la funci´ el subconjunt de R m´s gran on la regla que defineix la funci´ es pot
o
e
o
aplicar.
• Imatge de la funci´: al subconjunt de R format per totes les imatges dels elements
o
del domini.
• Gr`fic de la funci´: al subconjunt de punts del pla R2 format pels parells (a, f (a))
a
oper a tots els elements a del domini.
Es diu que una funci´ f ´s
o e
• Injectiva: si cada element del domini t´ una imatge diferent dels altres elements.
e
Per tant nom´s ´s possible que f (a1 ) = f (a2 ) quan a1 = a2 .
e e
• Exhaustiva: si cada element de R ´s imatge d’algun element del domini.
e
• Bijectiva: si l’aplicaci´ ´s injectiva i exhaustiva al mateix temps.
oe
Exemples:
1.f (x) = x2 .
El seu domini ´s tot R i la seva imatge s´n nom´s els nombres reals no negatius:
e
o
e
Im(f ) = [0, ∞).
Aquesta aplicaci´ no ´s injectiva perqu` hi ha elements diferents que tenen la
o
e
e
mateixa imatge, per exemple f (−1) = (−1)2 = 1 = f (1) i, en general, hi ha
infinites parelles de punts amb la mateixa imatge: f (x) = f (−x).

1

2

C`lcul. Curs 2011-12
a...