Calculo 1 ejercicios

I. SISTEMA DE NUMEROS REALES

a) AXIOMAS DE ADICIÓN
a.1 a + b ( R.. Ley de clausura
a.2 a + b = b + a Ley Conmutativa
a.3 a+(b+c) = (a+b)+c Ley asociativa
a.4 (! 0 ( R/ a+0=a ( a(R Identidad aditiva
a.5 ( a(R /-a (R/ a+(-a) = 0, Opuesto aditivo

AXIOMAS MULTIPLICATIVOS
m.1 ( a, b ( R ( a.b ( R Ley de clausura
m.2 a.b =b.a Ley conmutativa
m.3 a(bc) = a(bc) Ley asociativa
m.4 ( a ( R, ( 1 (0, 1(R/, 1.a = a Identidad multiplicativa
m.5 ( a(0 ( a-1 ( R, a.a-1 = 1 Inverso multiplicativo

D) a ( b + c) = ab + ac Ley Distributiva
0.1 ( a, b ( R, a < b, a = b, b< a Ley de tricotomía
0.2 si a < b, c ( R ( a +c < b +c Ley de monotonía (+)
3. si a < b, c (R ( c > 0 ( ac < bc Ley de monotonía (o)
4. si a < b ( b < c ( a < c Ley transitiva

DEFIICIONES
1. ( a, b ( R, a –b = a + (-b)
2. ( a, b ( R, b ( 0 : a/b = a.b-1 .
1- ( a, b ( R ( a.0 = 0.a
a . 0 = a .0 + 0 , A4
= a.0 + [a.0 + (-a,0)] A5
= [a.0 + a.0] + (-a.0) A3
= a.(0.0) + (-a.0) D
= a.0 + (-a.0) = 0 A4 yA5.

2. ( a, b ( R ( -a = (-a) a
a + (-1) a = 1.a + (-a) a M4
= [0 + (-a) a] M3
= 0.a = a.0 A5 y M2
= 0
como : a + (-a) = 0, entonces –a = (-1)a

3. ( a, b ( R ( a(- b) = -(ab) = (-a) b
a(-b) = a[(-1) b] Prob. 2
= [a . (-1)b ] = [(-1)a]b M2 y M2
= ( -1) ab M3
a (-b) = - (ab)

4. ( a, b ( R ( -(-a) = a
a + (-a) = 0 A5 ...(1)( -a) + (-a) = 0 A5 ...(2)
(-a) + (-( -a)) = a+(-a) (1) = (2)
-(-a) = a

5. ( a, b ( R ( (-a) ( -b) = ab
(-a) ( -b) = [(-1)a ] [(-1)b] Prob 4
= ( -1) [a ((-1)b] M3
= (-1) [(-1) a]b M2 y M3
= (-1) [(-a)]b M2
= [(-1) (-a)] b M2
(-a) (-b) = ab

6. ( a, b ( R ( -a –b = -(a + b)
- a – b = 1 (-a –b) M4
= 1(-1) (a+b) D
=(-1) 1 (a +b) M2
- a –b = - (a + b)
7. ( a, b ( R, a + b = a +c ( b = c
a + b = a + c
(-a) + (a+b) = (-a) + (a+c)
[(-a) + a] + b = [(-a) + a ] + c A3
0 + b = 0 + c A5
b = c
8. ( a, b y c ( R, ( a – (b –c) = (a – b) + c
a – (b – c) = a – [(b) + (-c)] Por definición 1
= a -1 [ (-b]+c]
= a + [( -b) +c] D
= [a + (-b)] + c A3
= (a – b) + c Por definición 1
9. ( a, b ( R, Si ab = 0
( a = 0 ( b = 0
Solo hay dos posibilidades
Si a ( 0 y recíprocamente
(a –1 . a) . b = a-1 . 0
1 . b = 0
b = 0
10. ( a, b y c ( R ( a (b – c) = a b – ac
a(b – c) = a [b + (-c)]
= ab + a(-c) Definición 1
= ab – ac D
a (b+ c) =ab - ac
11. ( a, b ( R , si ab ( 0 ( (a.b)-1 = a-1 . b-1
Cambiando de variable, ie: ab = c
c(a-1 . b-1) = (ab) (a-1 . b-1)
= a(b.a-1) b-1 M3
= a(a-1.b) b-1 M2
= (a.a-1) (b.b-1) M3
c (a-1 . b-1) = 1 . 1 = 1
c(a-1 . b-1) = 1 = c. c-1 M5
c-1 = a-1 . b-1
(ab)-1 = a-1. b-1
12. ( a, b ( R, si ab ( 0 ( (a-1)-1 = a(a-1) (a-1)-1 = 1 = a(a-1) M5
(a-1) (a-1)-1 = 1 M2
(a-1)-1 = a

13. ( a, b y c ( R, si ab = ac / a ( 0 ( b = c
(a . b) a-1 = (a.c) a-1
(a . a-1 ) b = (a. a-1)c M3
1.b = 1. c M5
b = c

14. ( a, b, c y d ( R; b( 0 ; d ( 0
( [pic]
[pic] = (a. b-1) + (c.d-1) Definición 2
= (a . b-1) (d.d-1) + (c.d-1)(b.b-1) M4 y M5= (a.d) (b-1.d-1) + (b.c) (b-1,d-1) M3 y M5
= (ad + bd) (b-1.d-1) D y Prob. 11
= (a.d + bc) (bd) –1
= [pic]

15. ( a, b, c y d ( R b( o, d( 0
( [pic]
[pic] = a.c-1. c.d-1 Definición 2
= (a.c) (b-1. d-1) M3
= (a.c) (b.d) –1 Prob. 11
= [pic]

16. ( a, b, c y d ( R; b( o, d( 0
(...