Calculo 2

ACTIVIDAD “4.1”
Funciones Vectoriales. Primera parte
ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y CURVAS
Primeramente tenemos que repasar algunas cuestiones de Geometría Analítica. Para ello se
incluyen al final de este documento dos lecturas, una referente a algunas curvas planas y
otra que trata de curvas en el espacio.
Una vez que hayas hecho las lecturas, continúa con lo que sigue.
Problema con valoresiniciales
4.1. Si x(t )  9(i sen 3t  jcos 3t )  4k , x(0)  3i  4 j y x(0)  2i  7k , obtener x (t).
Solución. Tenemos que:

x' '   9 sen 3t ,9 cos 3t ,4
Así que, al integrar obtenemos:

x'  3 cos 3t  c1 ,3 sen 3t  c2 ,4t  c3 
Considerando la condición inicial para x  :

x' 0  3  c1 , c2 , c3   2,0,7



c1  1, c2  0, c3  7

x'  3 cos 3t  1,3sen 3t ,4t  7

Así que:

Integrando nuevamente, obtenemos:



x  sen 3t  t  c4 , cos 3t  c5 ,2t 2  7t  c6



De acuerdo a la condición inicial para x:

x0  c4 ,1  c5 , c6   3,4,0



c4  3, c5  3, c6  0 , así que:

x  sen 3t  t  3, cos 3t  3,2t 2  7t 
4.2. Calcular r (t ) , sabiendo que r (t )  2 j  6t k , r(1)  3i  5j  k y r (1)  2i  2j  3k .
Solución. Al integrar r  , obtenemos:
r (t )  c1i  (2t  c2 ) j  (3t 2  c3 )k

Ya que r (1)  2i  2 j  3k , entonces:

r (1)  c1i  (2  c2 ) j  (3  c3 )k  2i  2 j  3k
De donde c1  2 , c2  0 y c3  0 . Por lo tanto:

r (t )  2i  2t j  3t 2 k
Integrando ahora esta función, obtenemos:
r(t )  (2t  c4 )i  (t 2  c5 ) j  (t 3  c6 )k

Ahora debemosconsiderar que r(1)  3i  5j  k , de manera que:

r(1)  (2  c4 )i  (1  c5 ) j  (1  c6 )k  3i  5j  k
Así pues, c4  1 , c5  4 y c6  0 , así que la función buscada es:

r(t )  (2t  1)i  (t 2  4) j  t 3k
Derivada, vector tangente y dirección de una curva
4.3. Hallar el ángulo formado por las gráficas de las funciones definidas por:
f (t )  (t , t 2  1, 1  2t ) y g(w)  (w 1/ 2,  2  8w,  2w) en alguno de los puntos de
intersección.
Solución. El ángulo formado por dos curvas, en un punto de intersección, es el
formado por sus tangentes en el mismo punto. De esta manera, debemos obtener
primero los puntos de intersección y después las derivadas de cada función evaluadas
en el punto (que son vectores tangentes). Para calcular los puntos de intersección,igualamos las funciones componente a componente:
1
1  2t  2w (3)
,
(1)
t 2  1  2  8w (2)
2
Sustituyendo (1) en (2), tenemos que:
1
w  1 22  1  2  8w ,
w 2  w   1  2  8w ,
4
t  w

w 2  7w 

w2  13

7  49  13 7  36 7  6
13
,


 0; w
2
2
2
4

w1  1 ,
2

2

Sustituyendo en (1), t1  1,

t 2  7 . Así que los puntos de intersección son:P1  1,2,1 y P2  7,50,13
Para el primero de éstos, es decir, para t = 1 y w = ½, tenemos:

f ' t   1,2t ,2,

f ' 1  1,2,2 y g' (w)  (1,8,  2)

Entonces, el ángulo entre las curvas en P1 está dado por:

cos  1 

1,2,2  1,8,2 
9 69

21
62

 0.8427

1  32.6º

4.4. Calcular los ángulos de intersección entre las curvas x 2  y 2  4 y y 2  4 x .Solución. Las curvas en cuestión son una circunferencia con centro en el origen y
radio 2, y una parábola con vértice en el origen, foco en (1, 0) y lado recto de 4

unidades (ya que p  1 ), de manera que se intersecan en dos puntos simétricos con el
eje x, como se muestra en la figura.

Problema 1.1. Figura 1

Problema 1.1. Figura 2

Para calcular las coordenadas de los puntos deintersección debemos resolver el
sistema formado por las dos ecuaciones. De esta manera, al despejar y 2 de ambas
ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas se obtiene que las abscisas de los
puntos de intersección deben satisfacer la ecuación:

y 2  4  x 2  4x ,
De donde:
x  4x  4  0 ,
2

x

x

 4  4 2  4(1)(4)  4  32

,
2(1)
2

44 2
 2  2 2 ,
2

Sin...