calculo 2

CAPÍTULO 1

ANTIDERIVADA E
INTEGRAL INDEFINIDA
1. ANTIDERIVADA E INTEGRAL DEFINIDA
2. INTEGRACIÓN DIRECTA

1

SECCIÓN 1.1 ANTIDERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA
ANTIDERIVADA
¿Cómo se puede emplear una tasa de inflación conocida para determinar precios
futuros? ¿Cuál es la velocidad de un objeto en movimiento rectilíneo con aceleración
conocida? ¿Cómo se puede usar la tasa a la cualcambia la población para predecir
niveles futuros de población? En todas estas situaciones se conoce la derivada (tasa de
cambio) de una magnitud, y se quiere conocer esa magnitud. A continuación se
presenta la terminología que se usará en el proceso de obtención de una función a
partir de su derivada.
Supongamos que se nos pide encontrar una función F cuya derivada sea:
f ( x)  4 x3

Por loque sabemos de derivación, probablemente diríamos que:
F ( x)  x 4 ya que

d  4
3
 x   4x
dx

Esto permite definir lo siguiente.
Definición:
Una función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I, si:
F ' ( x)  f ( x)
Para cada x  I .
Observación:
Decimos que F es una antiderivada de f y no que es la antiderivada de f . La
razón es que, por ejemplo,
F1 ( x) x4 , F2 ( x)  x 4  3 y F1 ( x)  x 4  54

son, todas ellas, antiderivadas de f ( x)  4 x3 . De hecho, para cualquier valor de
la constante C , F ( x)  x4  C es antiderivada de f .
Definición: Antiderivada general
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada general, G
, de f en I es de la forma:
G( x)  F ( x)  C , para todo x en I

donde C denota unaconstante.
Observación:
Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no determina una
única función, sino una familia dé funciones, que difieren entre sí en una
constante.

2

El proceso de hallar todas las antiderivadas de

f ( x) se denomina integración

indefinida o antiderivación y se denota por el símbolo
integración, la expresión

 f ( x)dx



, llamadosigno de

se lee la integral indefinida de f ( x) con respecto a

x.

INTEGRAL INDEFINIDA
Definición:
Si F ( x) es una antiderivada de f ( x) en un intervalo I , entonces a su antiderivada
general G( x)  F ( x)  C se le denota por:

 f ( x)dx  F ( x)  C

x  I

Llamada la INTEGRAL INDEFINIDA de f ( x) con respecto a x .
Nota:
De la definición de Integral Indefinida se tiene F' ( x)  f ( x) , es decir:
d
f ( x)dx  f ( x)
dx 

Ejemplos:
1) Determine
Solución:

  3x

3

  3x

3



 2 x  5 dx



 2 x  5 dx   3x3dx   2 xdx   5dx  3 x3dx  2 xdx  5 dx

2) Determine

 y

 x4   x2 
3
 3   2    5x  C  x4  x2  5x  C
 4   2 
4
   
2



 y 4  2 dy

Solución:





y 2  y 4  2dy   y 2 dy   y 4 dx   2dx 

3) Determine

y3 y 4

 2x  C
3
4

2

 y3 dy

Solución:
2
y 2
1
dy  2 y 3dy  2
 C   y 2  C   2  C
 y3
2
y
4) Determine  (2sin x  3cos x)dx
Solución:
 (2sin x  3cos x)dx   2sin xdx   3cos xdx  2cos x  3sin x  C

3

FORMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
Sea u  u( x) una función diferenciable en x , entonces:u n1
C
n 1

1.

n
 u du 

2.

u

3.

 e du  e

4.

u
 a du 

5.

 u 2  a2  a arctan  a   C,
 

6.

 u 2  a2  2a ln u  a  C

7.

 a2  u 2  2a ln u  a  C

du

 ln u  C

u

u

C

au
 C, a  0  a  1
ln a

u

du

1

du

1

ua

du

1

ua

a0

a0
a0

Integrandos que contienen raíces cuadradas8.



9.



10.



11.

u

12.

du
u a
du

2

u a

2

2

2

 ln u  u 2  a 2  C a  0
 ln u  u 2  a 2  C a  0

u
 arcsin    C a  0
a
a2  u 2
du

u
1
 arcsec    C a  0
a
u 2  a2 a
du



u 2  a 2 du 

u 2
a2
u  a 2  ln u  u 2  a 2  C
2
2

13.



u 2  a 2 du 

u 2
a2
u  a 2  ln u  u 2...