Calculo 3

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ACTIVIDAD 1
______
1. Dada la función z=f(x,y)=√ x2 + y2 :
a) Evaluar f(1,2) y f(1.01, 2.05) para calcular ∆z; comparar el valor anterior con dz.

f1,2=x2+y2=(1)2+(2)2=5=2.236067978f1.01,2.05=(1.01)2+(2.05)2=2.289737976

∆Z=.053669998

∂z∂x=x2+y212=12x2+y212=xx2+y2(1,2)=11+4=15
∂z∂y=1
dz=15.01+1(.05)

dz=.052

b) Encuentre la ecuación del plano tangente en el punto (1,2)PTx,y=f1,2∂f∂x1,2x-1+∂f∂y1,2(y-2)

f1,2=(1)2+(2)2=5

∂f∂x1,2=x2+y2=xx2+y2(1,2)=15

∂f∂y1,2=x2+y2=yx2+y2(1,2)=25
Sustituyendo:
PTx,y=5+15x-1+25(y-2)

PTx,y=5+x5-15+2y5-45

PTx,y=x5+2y5+5-55PTx,y=x5+2y5

2. Encuentre el diferencial de la función z = 1 (ex + y - ex – y).
2

3. El capitán Smith se encontró ene. Lado opuesto de Mercurio y notó que su traje espacial sefundía. La temperatura en un sistema rectangular de coordenadas en su vecindad es
T(x,y,z)= e-x+ e-y + e-z. Si él está en (1,1,1), ¿en qué dirección deberá comenzar a caminar con el fin de enfriarselo más rápidamente posible?

tx,y,z=e-7+e-y+e-z
Punto (1, 1,1)

tx,y,z=e-7+e-y+e-z
∇f=e-7,e-y,e-z
∇f(1,1,1)=1,1,1

4. Hallar la derivada direccional de la función z= e-xcos y en el puntoP(0,/4) en la dirección de V= 2i – j.

z=e-xcosy
Punto(0,/4)
V= 2i-j

∇f=e-xcosy,e-xseny,

∇fo,π4=1,.070∙25,-15=25

5. Encuentre la derivada de la función z = e-(x + y ) en el puntoP(0,0), en la dirección de V = i + j.

z=e-(x+y)
Punto (0,0)
V= i+j

∇f=e-(x+y),e-(x+y)
∇f(0,0)=i+j
u=vv=2=12+12

1+112+12=1+1=2

6. ¿En cuál dirección la derivada direccional de f(x,y)=x2-y2 en (1,1) es igual a cero?
x2+y2
7. Las dimensiones de una caja rectangular cerrada son 3,4 y 5 pies, con un error posible en la medición de 1/16 de pulgada. Estime el errormáximo posible en el cálculo del área de la superficie de la caja.

∂y=±.15 cm2 ∂z=± .15 cm2

Yo+ ∂f∂xx0+y0i+∂y∂y(x0+y0)k A=18580.608cm2
∂f∂xx0+y0i+∂y∂y(x0+y0)k...
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