Calculo 3

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Ecuaciones lineales
Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma:

O usando otra notación frecuente:

Ecuaciones no lineales.
Esta ecuación es de variables separables, se procede de la siguiente forma:

 Se resuelve por el método de variables separables.

 
Ecuaciones homogéneas
-------------------------------------------------Decimos que una función (x,y) es homogénea
-------------------------------------------------
de grado 'n' si:
-------------------------------------------------

-------------------------------------------------
Determine si la función es homogénea:
-------------------------------------------------Solución:
-------------------------------------------------


-------------------------------------------------


-------------------------------------------------


--------------------------------------------------------------------------------------------------
Por lo tanto

-------------------------------------------------
La función es Homogénea de grado 3
-------------------------------------------------
Determine si la función es homogénea:
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Solución:
-------------------------------------------------


-------------------------------------------------


--------------------------------------------------------------------------------------------------
Por lo tanto

-------------------------------------------------
La función es Homogénea de grado 0
Ecuaciones exactas

en donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función F(x,y)=0 tal que

donde y .Dado que F(x,y) es una función diferenciable entonces las derivadas cruzadas deben ser iguales y esta es la condición .
Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:
* Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
* Se integra M o N aconveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

* Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable independiente de g.
* Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respectoa la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.
* Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general .

Ecuaciones de bernoulii
* Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:
Caso generalSi se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:

Definiendo:

lleva inmediatamente a las relaciones:

Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

Donde es una constante arbitraria. Pero como Z =...
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