Calculo Aplicado

SEGUNDA PARTE La integral indefinida ,la integral definida; Aplicaciones, convergencia

2010

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INDICE:
1.- LA INTEGRAL INDEFINIDA Ejercicios Resueltos : 2.- METODOS DE INTEGRACIÓN Ejercicios Resueltos Guía # 1.- Ejercicios Propuestos. 3.-LA INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios Resueltos 4.- CALCULO DE AREAS PLANAS Ejercicios Resueltos 157 151 102 139 100

5.- CALCULO DE VOLÚMENES DE ROTACIÓN.Ejercicios resueltos 6.- LONGITUD DE UNA CURVA Ejercicios resueltos 179 163

7.-AREA DE UNA SUPERFICIO DE REVOLUCIÓN Ejercicios Resueltos Guía # 2 Ejercicios Propuestos 8.- INTEGRALES IMPROPIAS Ejercicios Resueltos 9.- ANEXOS. Series Reales: Ejercicios Series de Potencias:Ejercicios Series de Taylor Series de Fourier 194 199 202 207 191 182 190

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1.- LA INTEGRAL INDEFINIDA: EjerciciosResueltos
Recordemos que: Si f(x) es una función real, entonces

∫ f(x)dx

= F(x)

⇔

dF(x) = f(x) dx

Usando esto, verifique las primitivas básicas siguientes haciendo la derivada del lado derecho: 1)

∫ ∫
∫ ∫

dx b x −a dx a + b2 x 2
dx a −b x dx x b x −a
2 2 2 2 2

2 2

2

=

1 ⎛ bx − a ⎞ Ln ⎜ ⎟ + C 2ab ⎝ bx + a ⎠ 1 arctg bx + C a ab
1 arcsen bx + C a b 1 arcsec bx + Ca a

2)

2

=

3)

=

4)

2

=

5)

Verificar:

∫

dx b x ±a
2 2 2

=

1 b

Ln bx + b2 x 2 ± a2 + C

(

)

6)

Verificar:

∫ ∫ ∫

b2 x 2 ± a2 dx =

x b 2 x 2 ± a2 a2 ± Ln bx + b2 x 2 ± a2 2b 2

(

) +C ) +C

7)

Verificar:

b2 x 2 ± a2 dx =

x b 2 x 2 ± a2 a2 ± Ln bx + b2 x 2 ± a2 2b 2 x a2 − b 2 x 2 a2 + arcsen bx + C a 2b 2

(

8)Verificar:

a2 − b2 x 2 dx =

9)

Verificar:

∫

sen2 ax dx = x − sen 2ax + C
2 4a

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10)

Verificar:

∫ ∫ ∫ ∫

cos2 ax dx =

x sen 2ax + 2 4a

+C

11)

Verificar:

Ln(a + bx)dx =

1 b

(a + bx) Ln (a + bx) – x + C

12)

Verificar:

sec ax dx =

1 a

Ln(sec ax + tgax) + C =

1 2a

Ln ⎜ 1 + sen ax ⎟ + C ⎜ ⎟
⎝ 1 − sen ax ⎠

⎛

⎞

13)Verificar:

cosec ax dx =

1 a

Ln (cosec ax − cotg ax) + C =

1 2a

Ln ⎜

⎛ 1 + cos ax ⎞ ⎟ +C ⎝ 1 − cos ax ⎠

En cada caso se deberá derivar el segundo miembro para obtener la función integrando, es decir, verificar que
dF(x) = f(x) dx

cuando

∫ f(x)dx

= F(x).

Buen ejercicio de recapitulación, muy necesario para lo que viene. En esta tabla básica, en su segunda parte, cadaejemplo será deducido mediante los siguientes métodos de integración que se presentarán.

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2.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.Ejercicios Resueltos.(A) Método de integración inmediata
Se trata de determinar las primitivas a partir de sus propiedades, lo sabido en derivación y algunos recursos algebraicos, además de los ejemplos logrados en la Tabla Básica. Ejemplos resueltos Calcular: 1)

∫

( x+1 x

)2 dx

Solución: Desarrollando:

∫

( x+

1 x

)2 dx =

∫

x2 1 (x + 2 + )dx = + 2x + Ln x + C// x 2

2)

∫

x 3 x dx

Solución:

∫
3)

x 3 x dx =

∫

x 4 / 3 dx =

x3

4 +1

4 +1 3

+ C =

3x 3 7

7

+ C//

∫ ∫

(2e x + 3 sen x)dx

Solución:
(2e x + 3 sen x)dx = 2 e x dx + 3 sen x dx = 2ex – 3cos x + C//

∫

∫

4)

∫

x3 / 2+ x2 / 3 dx x1/ 4

Solución:

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5)

∫ ∫ ∫

x3 / 2 + x2 / 3 dx = x1/ 4 u−3 u du

∫(x
1

3−1 2 4

+ x3

2−1 4

) dx

=

∫

(x 4 + x 12 )dx =

5

5

4 9

x4 +

9

12 17

x 12 + C//

17

Solución:
u−3 u du =

∫

(u 2 + 3u 2 )du =

−1

2 u2 3

3

− 6u 2 + C//

1

6)

∫( ∫(

x− 1 x

) dx ) dx
3

3

Solución:
x− 1 x

=

∫⎛ 3 3 1 ⎞ 3x 2 x4 1 ⎜ x − 3x + x − 3 ⎟ dx = 4 − 2 + 3Ln x + 2x 2 ⎝ x ⎠

+ C//

7.-

∫ x3 / 5

dx

= x2 / 5 + c

2.-

∫
∫

dx 1 − x2

= ArcSen( x)

3.- a x dx =

∫

ax +c Ln a

8.-

∫ Senx dx = Ln Senx + c

Cosx

5.- SecxTgxdx = Secx + c

6.- Sec 2 x = Tgx + c

∫

9.-

2 2 4 3 2 ∫ ( x + x + 1) dx = ∫ ( x + 2 x + 3x + 2 x + 1)dx =

x5 x 4 + + x3 + x + c 5...