calculo de derivadas aplicadas

Introduccion :

En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. (El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.)
La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la función cambia cuando la entrada de la función cambia. Es decir, que unaderivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio.
La derivada es un concepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite de una secante. Conesta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada, en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical o una discontinuidad.
Las funciones que son diferenciables (derivables si hablamos en unasola variable), la función es aproximable linealmente.

















Desarrollo:

Definición funciones crecientes y decrecientes
Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo.
.
Una fución f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo, .
Sea f una función continua con ecuación y =f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b].
En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:
1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)
2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)

Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea f una función continua en el intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto.
1 Si es creciente en
2 Si es decreciente en
3 Si es constante en




Puntos criticos

En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.1 2 El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admiten generalizaciones afunciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.

Un punto crítico de una función de una sola variable real, ƒ(x), es un valor x0 dentro del dominio de ƒ donde la función no es diferenciable, o bien, su derivada es 0, ƒ′(x0) = 0. Cualquier valor en el codominio de ƒ que sea la imagen de un punto crítico bajo ƒ es un valorcrítico de ƒ. Estos conceptos pueden ser visualizados por medio de la gráfica de ƒ: en un punto crítico, la gráfica no admite una tangente, o bien, la tangente es una línea vertical u horizontal. En el último caso, la derivada es cero y el punto es llamado un punto estacionario de la función.


 Concavidad y puntos de inflexión
La segunda derivada de una función también proporciona informaciónsobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:

 
 
Definición  de concavidad
 
Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, MATH $(A\subseteq D_{f})$ , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Note que es la función derivada la que debe sercreciente o decreciente en el intervalo A.

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo y cóncava hacia abajo en el intervalo


 
 
Teorema 5
 
Si f es una función tal que cuando , entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre .







Demostración:

Si y como MATH $f''(x)= D_{x}f'(x)$ , entonces se tiene que es...