Calculo de ingenieria henm

UNIDAD II.II.- DERIVACIÓN; APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS
2.1. DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que se trabaja están expresadas en forma explícita, como en la ecuación y

DERIVACIÓN; APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS
Derivar la ecuación, término a término, considerando a y como función de x, y de la ecuación resultantedespejar dy dx .

El método de regla de la cadena para funciones implícitas Se sabe que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación se realiza de manera habitual. Sin embargo, cuando se tiene que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena. Ejemplo 1:

4 x2

3 , dónde la variable y está escrita

explícitamente como función de x. Sinembargo, muchas funciones están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1. Si queremos hallar la derivada dy para esta última

dx

ecuación, se hace despejando y, así, y = 1 / x , obteniendo su derivada fácilmente

dy dx

x

2

1

x2

.

Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente. Ejemplo 2:

El método sirvesiempre y cuando se esté capacitado para despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x
2

2 y 3 4 y 2 , donde

Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena. Ejemplo 3: Hallar dy dx , de la función implícita:

resulta muy difícil despejar y como función explícita de x? Laderivación implícita consiste en derivar cada uno de los términos de la relación o función en cuestión, aplicando las fórmulas de derivación correspondiente a cada uno de dichos términos, considerando a “y” como función de explícita de “x”. Cuando y se define como una función implícita de x, puede no ser conveniente el resolver la ecuación para obtener y como función explícita de x, o a x como funciónexplícita de y (función inversa). Entonces para calcular la derivada, se sigue la siguiente regla:

Aplicando la notación constantes;

d , a cada término y extrayendo las dx

.

1

UNIDAD II.En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.DERIVACIÓN; APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS
Ejemplo 4:

La regla de la cadena se aplica al término

d ( y7 ) , dx

como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,

quitando paréntesis y ordenando los términos,

, pasando algunos términos al lado derecho,

extrayendo el factor común dy dx

,

y despejando, se obtiene la respuesta requerida:

2

UNIDADII.Ejemplo 5

DERIVACIÓN; APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS
Ejemplo 6

3

UNIDAD II.Ejercicios propuestos Hallar la pendiente de cada una de las siguientes curvas en el punto dado

DERIVACIÓN; APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS
II.- DERIVACIÓN; APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS
2.2. APLICACIONES PRÁCTICAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS En la resolución de problemas en que se debe determinar elx

2

xy 3 xy 2

2y

2

28 ; P (2, 3) 1 ; P (2, - 1)

máximo o el mínimo de una función, se recomiendan los siguientes pasos:

x3 2x x
2

y3

• Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una literal.

3y 2 xy x xy

5 ; P (2, 3) y
2

• Realizar un dibujo o esquema, cuando sea necesario. • Asignar una literal a las cantidades mencionadas en elproblema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe

52 ; P (8, 2) 6 ; P (4, 1)

hacer máximo o mínimo. • Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una

x2

2y2

ecuación (ecuación auxiliar) • Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de...