Calculo de predicados

C APÍTULO 5

Cálculo de Predicados
Índice del Capítulo
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.2. Predicados y Cálculo de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.3. El cuantificador universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.4. El cuantificador existencial . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

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5.5. Propiedades de las cuantificaciones universal y existencial . . . . . . . . . 100
5.6. Aplicaciones del cálculo de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.7.1. Ejercicios de traducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.7.2.Ejercicios sobre cuantificación universal . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7.3. Ejercicios sobre cuantificación existencial . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.7.4. Ejercicios de razonamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

ntroduciremos los conceptos referentes al Cálculo de Predicados, el cual es una extensión del
Cálculo Proposicional que ya vimos en el Capítulo 3. Estaextensión nos permitirá trabajar
con expresiones que usen variables de otro tipo además del tipo booleano y nos conducirá a un
sistema formal que abarque una mayor cantidad de expresiones y con un mayor poder deductivo.

I

5.1. Introducción
Si bien el cálculo proposicional nos permitió analizar cierto tipo de razonamientos y resolver
acertijos lógicos, su poder expresivo no es suficiente paracomprobar la validez de algunos
razonamientos simples. Por ejemplo, consideremos el siguiente razonamiento:
“Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal.”
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5. C ÁLCULO

DE

P REDICADOS

Si lo formalizamos en la lógica proposicional obtendremos que tanto las premisas como la
conclusión son proposiciones elementales:
p : Todos loshombres son mortales.
q : Sócrates es hombre.
r : Sócrates es mortal.
y el razonamiento sería p ∧ q ⇒ r, el cual no resulta verdadero.
No podremos demostrar la validez de este razonamiento usando lógica proposicional, porque
ésta no depende de las relaciones entre las premisas y la conclusión, sino de relaciones entre
partes de las proposiciones elementales que intervienen. Si analizamos laestructura internas de
estas proposiciones, encontramos que el razonamiento es de la forma:
“Todos los A son B. C es A. Por lo tanto, C es B.”
En las secciones siguientes veremos herramientas que nos permiten demostrar este tipo de
razonamientos. Trataremos primero el uso de símbolos para representar partes de enunciados
simples (llamados símbolos de predicados); y luego veremos la naturaleza deexpresiones tales
como “Todos los As son B”.

5.2. Predicados y Cálculo de Predicados
El Cálculo Proposicional nos permitió razonar con fórmulas construídas a partir de las constantes true y f alse, variables y operadores booleanos, con lo cual nos fue posible expresar
afirmaciones o frases que pueden modelizarse utilizando expresiones de tipo booleano.
El Cálculo de Predicados nos permitirárazonar sobre una clase más extensa y expresiva de
expresiones booleanas.
Un predicado es una aplicación de una función booleana cuyos argumentos pueden ser expresiones no boolenas. Utilizaremos predicados para expresar propiedades o relaciones entre
objetos. Los siguientes son ejemplos de predicados: par.i , igual.(x, x−z+z) , menor.(x, y+z).
Los nombres de las funciones (igual, menor) sonllamados símbolos de predicados. También
utilizaremos en los predicados la notación infija, como x < y en lugar de menor.(x, y).
Los argumentos de los predicados pueden ser expresiones de distintos tipos. Estas expresiones son llamadas términos, por ejemplo los términos de los predicados dados son i, x, x−z+z
y y + z.
Diremos que una fórmula del cálculo de predicados es una expresión booleana...