Calculo De Puntos Estacionarios Optimizacion

UNIVERSIDAD DEL DESARROLLO.
FACULTAD DE INGENIERIA.

Optimizaci´n de Sistemas II, Control 3.
o
Profesor: Paul Bosch

Semestre Oto˜ o 2012
n
Tiempo: 60 min.

Problema
Considere la funci´ndos veces continuamente diferenciable:
o
f (x1 , x2 ) = x3 − x1 x2 + x2 − 2x1 + 3x2
2
1
1. Determine los puntos estacionarios de la funci´n f .
o
2. Caracterice los puntos estacionarios de f ,justificando en base a los resultados del curso,
cu´les de estos puntos son m´
a
ınimos locales, m´ximos locales o simplemente punto silla.
a
3. Analice si f admite o no un punto de m´
ınimoglobal y/o uno de m´ximo global sobre
a
2
R . En caso afirmativo, explicite las soluciones ´ptimas.
o

Pauta
1.
Para el c´lculo de los puntos estacionarios, hacemos:
a
∂f
∂x1
∂f
∂x2

f (x1 ,x2 ) =

=

0
0

de donde:
3x2 − x2 − 2 = 0
1
− x1 + 2 x2 + 3 = 0
y despejando la variable x2 en la segunda ecuaci´n y sustituyendola en la primera, obtenemos:
o
x1 − 3
−2 = 0
2
6x2 −x1 − 1 = 0
1
(3x1 + 1) (2x1 − 1) = 0

3x2 −
1

1

y por tanto, las soluciones de esta ecuaci´n son x1 = − 1 y x1 =
o
3
que los puntos estacionarios son
P1 =

15
− ,−
33

y P2 =1
2

. Finalmente, concluimos

15
,−
24

2.
Para clasificar estos puntos, calculamos la matriz Hessiana de la funci´n f y la evaluamos
o
en cada uno de los puntos:
6x1 −1
Hf (x1 , x2 ) =−1 2
5
y por tanto, para el punto P1 = − 1 , − 3 tenemos:
3

Hf

15
− ,−
33

−2 −1
−1 2

=

que es una matriz indefinida dado que tiene un valor propio positivo y el otro negativo
15− ,−
33

−2 − λ −1
−1
2−λ
= − (2 + λ) (2 − λ) − 1
= λ2 − 5
√
√
y por tanto, sus valores propios son λ1 = − 5 < 0 y λ2 = 5 > 0. Esto implica que este
punto estacionario es un punto desilla.
Para el punto P2 = 1 , − 5 tenemos
2
4
det H f

Hf

− λI

15
,−
24

=

=

3 −1
−1 2

5
que es una matriz definida positiva por ser 3 > 0 y det H f 1 , − 4
2
implica que este...