CALCULO DE RAICES

Solución de ecuaciones

Temario
Métodos cerrados:
Métodos gráficos
Método de bisección
Método de la posición falsa
Métodos abiertos
Iteración simple de punto fijo
Método de Newton-Raphson
Método de la secante

Métodos gráficos
Los métodos gráficos consisten en graficar la función f(x) y
observar donde la función cruza el eje x.

Ejemplo 1
Encontrar la raíz de:

f x  





667.38
1  e0.146843 x  40  0
x

40
35

x
f(x)
4 34.11488938
8 17.65345264
12 6.066949963
16 -2.268754208
20 -8.400624408

30
25
20
15
10
5
0
-5 0
-10
-15

5

10

15

20

25

Ejemplo 2
Grafica de: f(x) = sen 10x + cos 3x
x
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.50
2.75
3.00
3.25
3.50
3.75
4.00
4.25
4.50
4.75
5.00

f(x)
1.00
1.33
-0.89
0.31
-1.53
-0.89
0.44
-0.46
1.87
0.41
0.21
0.31
-1.90
-0.06-0.90
0.05
1.59
-0.01
1.45
-0.48
-1.02

2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
-0.500.00
-1.00
-1.50
-2.00
-2.50

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

Ejemplo 2 (cont.)
Grafica de: f(x) = sen 10x + cos 3x
x

f(x)
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30

0.08
0.05
0.02
0.00
-0.01
-0.01
-0.01
0.01
0.04
0.07
0.11

0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
4.18
-0.02

4.20

4.22

4.24

4.26

4.28

4.304.32

Tarea
Utilice Excel para los siguientes problemas.
Determine las raíces reales de: f(x) = –0.5x2 + 2.5x + 4.5
Gráficamente. Confirme utilizando la fórmula cuadrática.

Determine las raíces reales de: f(x) = 5x3 – 5x2 + 6x – 2
Gráficamente.

Método de la bisección
Se trata de encontrar los ceros de
f(x) = 0
Donde f es una función continua en [a,b] con f(a) y f(b) con
signos diferentes.
yf(a)
y = f(x)
bx
a

f(b)

Método de la bisección
De acuerdo con el teorema del valor medio, existe p  [a,b] tal
que f(p) = 0.
El método consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar
la mitad que contiene a p.
El procesos se repite hasta la lograr la precisión deseada.

Método de la bisección
Primera iteración del algoritmo
y

Mitad del intervalo que
contiene a p

f(a)
y = f(x)
f(p1)
bxa

f(b)
p
p1=(a+b)/2

Método de la bisección
Segunda iteración del algoritmo
y

Mitad del intervalo que
contiene a p

y = f(x)
f(a)
bx
a =p1
f(p2)
p
p2=(a+b)/2

f(b)

Método de la bisección
Algoritmo bisección
Entradas: extremos a,b; número de iteraciones ni; tolerancia tol
1. p=a; i=1; eps=1;
2. mientras f(p)0 y i ni eps>tol
2.1. pa = p;
2.2. p = (a+b)/2
2.3. si f(p)*f(a)>0 entonces a=p;
2.4.sino
2.5.
si f(p)*f(b)>0 entonces b=p;
2.6. i = i + 1; eps = |p-pa|/p;

Ejemplo
Función de ejemplo

x  1  tan( x)
2

Tarea
Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones utilizando
la función biseccion():
1. ex – x2 + 3x – 2 = 0 para 0 <= x <= 1

2.

f x  





667.38
1  e 0.146843 x  40  0
x

Error en el método de bisección
Para el método de bisección se sabe que la raíz estadentro del intervalo, la
raíz debe situarse dentro de x / 2, donde x = xb – xa.
La solución en este caso es igual al punto medio del intervalo
xr = (xb + xa) / 2
Deberá expresarse por
xr = (xb + xa) / 2  x / 2
Error aproximado

a 

xrnuevo  xranterior

sustituyedo

xrnuevo

100%

a 

x

nuevo
r

x

anterior
r

xb  xa
100%
xb  xa

x x
 b a
2

xrnuevo 

xb  xa
2

Número deiteraciones
El error absoluto en la primera iteración es:
Ea0  xb0  xa0  x 0

El error absoluto en la iteración n-ésima es:
x 0
E  n
2
n
a

Si el error deseado es Ead,El número de iteraciones
será:





 x 0 
log x 0 / Ead

n
 log 2 
log 2
 Ead 

Volumen del abrevadero
h
sen   
r

r
h
L

area sector  r 2

r 



h





h
 sen 1  
2
2
r


area sector  r 2  r 2  sen 1 h / r 
2




area triangular  2

 

base  altura
 h r 2  h2
2



A  area sector  area triangular  r 2   sen 1 h / r   h r 2  h 2
2

 


V  LA  L r 2   sen 1 h / r   h r 2  h 2 

 2


Tarea
17. Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal
en forma de semicírculo con radio r (véase la figura) Cuando se
llena de agua...