Calculo diferencial

LA DIFERENCIAL Y LA ANTIDIFERENCIAL

DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

Dada la función y = f(x), su diferencial se define como el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente.

Es decir:

dy = f ’(x) (x

Si tomamos el caso particular:

y = x( dx = 1 . (x ( dx = (x

Por lo tanto se puede redefinir el diferencial de una función como el producto de la derivada de la función por el diferencial de la variable independiente, es decir:

dy = f ’(x) dx

1º) y = 2x3 – 5x2 + 3x + 6
dy = (6x2 – 10x + 3) dx

2º) y = tg (3x + 2)
dy = (3x + 2)’ sec2 (3x + 2) dxdy = 3 sec2 (3x + 2) dx

3º) x2 + y2 = 2x – 3y

(x2)’ + (y2)’ = (2x)’ – (3y)’

2x + 2y y’ = 2 – 3 y’

2y y’ + 3 y’ = 2 – 2x

y’ (2y + 3) = 2 – 2x

y’ = 2 – 2x
2y + 3
dy = 2 – 2x dx
2y + 3

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DIFERENCIAL

Sea y = f(x) la ecuación de la curva representada en la figura. SeaP(x,y) un punto perteneciente a la curva y Q(x + (x, y +(y) otro punto de la misma, distinto de P.
Sea PT la recta tangente e la curva en el punto P.
En la gráfica dada se tiene:
(x = dx = PM,
(y = MQ.

Q
y

(y T
R
P dy
M(x = dx

x x + (x x

La pendiente de la recta tangente es:
m t = dy
dx
y también:
m t = MR
PM

Por lo tanto, de estas dos expresiones se tiene:

dy =MR
dx PM
Como PM = dx, resulta:
dy = MR
dx dx

Entonces:
dy = MR

Es decir, el segmento representativo del diferencial de una función es el segmento MR.

INTEGRALES INDEFINIDAS

Dada una función y = f(x), se han estudiado losmétodos que me permiten determinar la derivada de esta función, y’ = f ’(x) y su diferencial dy = f ’(x) dx. Esto constituye los que se conoce como el cálculo diferencial.

La operación inversa, es decir, dada la derivada y’ = f ’(x) o el diferencial dy = f ’(x) dx, determinar la función. Este problema, que ahora nos ocupa, se denomina cálculo integral.( f(x) dx = F(x) + c pues [F(x) + c]’ = f(x)
o bien d [F(x) + c] = f(x) dx

signo de integración

integrando integral indefinida constante de
o primitivaintegración

Ejemplo:

( x2 dx = x3 + 2 pues (x3 / 3 + 2)’ = x2
3

= x3 - 5 pues (x3 / 3 - 5)’ = x2
3

= x3 + c pues (x3 / 3 + c)’ = x2
3

PROPIEDADES

1º) La integral de una constante por una función es igual a la constantepor la integral de la función:

( c f(x) dx = c ( f(x) dx

2º) La integral de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de dichas funciones:

( [f(x) + g(x) – h(x)] dx = ( f(x) dx + ( g(x) dx - ( h(x) dx

INTEGRALES INMEDIATAS

1º ) ( du = u + c...