Calculo diferencial

Cálculo
Cálculo, rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.
El cálculo se deriva de la antigua geometría griega.Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el 'método de agotamiento' para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionalesy las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri y Evangelista Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos). Fermat e Isaac Barrow tenían la certeza de que amboscálculos estaban relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó poradoptarse la notación de Leibniz.
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Derivadas e integrales indefinidas de algunas funciones
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El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y = f(_x_), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, xpuede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x, de un valor x0 a x0 + h, produce un incremento k en la y que pasa de y0 = f(_x_0) a y0 + k = f(_x_0 + h), por lo que k = f(_x_0 + h) - f(_x_0). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x0 a x0 + h. La gráfica de la función y = f(_x_) es una curvaen el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = (_x_0,_y_0) y B = (_x_0 + h, y0 + k) en esta curva; esto se muestra en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ángulo BAC.
por lo que k/h = 2_x_0 + h, que tiende hacia 2_x_0 cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x0 es por tanto 2_x_0, y la derivada de f(_x_) = x2 esf′(_x_) = 2_x._ De manera similar, la derivada de xm es mxm-1 para una m constante. Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas (véase la tabla adjunta con algunos ejemplos).
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Figura 1: pendiente de una curva
La pendiente o gradiente de una curva cualquiera en un punto se define como la pendiente de la tangente (recta que toca a la curva sólo en dicho punto).En la figura, la pendiente de la curva en A es la pendiente de la recta AT, que es la tangente a la curva en A. Esta pendiente se puede aproximar por la de la recta AB, que une A y B, un punto cercano de la curva. La pendiente de AB es k/_h._ Si B se acerca hacia A, tanto k como h tienden a 0, pero su cociente tiende a un determinado valor, que es la pendiente de AT. El cálculo diferencial seocupa de calcular la pendiente de las curvas y = f(x) en todos sus puntos.
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Muchos problemas se pueden formular y resolver utilizando las derivadas. Por ejemplo, sea y la cantidad de material radiactivo en una muestra dada en el instante x. Según la teoría y la experiencia, la cantidad de sustancia radiactiva en la muestra se reduce a...