Calculo diferencial

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INTRODUCCION

En cálculo, la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo conrespecto al tiempo, es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.
En este trabajo interpretaremos las derivadas geométricamente, y cuando se aplica como razón de cambio o ritmo de cambio.

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Una de las mayores dificultades que tiene el alumnado que comienzan a estudiar la derivada de una función es la comprensión de su significadogeométrico. Mientras que el cálculo de derivadas les suele resultar sencillo e incluso atractivo, la aplicación de la interpretación geométrica de la derivada en un punto se convierte en un problema complejo, aunque no lo sea, debido a que en muchos casos no han conseguido adquirir el concepto con claridad.
Por eso en este trabajo daremos ejemplos claros que nos permitan identificar de la mejorforma la geometría de la derivada
Sea f una función derivable en todo su dominio.
En el entorno del punto a podemos aproximar la función por la recta 
y(x) = f(a) + f ’(a) (x-a) 
esto es, la aproximación f(x) f(a) + f ‘(a) (x-a) es correcta cuando (x-a) es pequeño.
De forma más precisa podemos decir que la función diferencia f(x) – y(x) es un infinitésimo de orden superior a (x-a):
 =  0
|  |
Vemos en el dibujo que el valor del cociente incremental es igual a la pendiente de la secante a la curva que pasa por los puntos (a, f(a)) y (x, f(x)). 
En el límite, cuando x tiende a ‘a’, la secante tiende a la tangente a la curva en a.
La recta tangente es y = f(a) + f'(a) · (x-a).

INTERPRETACION DE LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO
Comenzando por la Razón de Cambio de una funcióncuya variable independiente es el tiempo t.
Suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f (t), siendo el valor de
Q en el instante t. Por ejemplo
• El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,)
• La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
• El volumen de un globo mientras se infla
• La distancia t recorrida en un viaje después delcomienzo de un viaje
El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q
Con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio
Cuando "t!0. Es decir, larazón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´ (t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f (t) es la derivada.

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f (t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero sisúbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.
También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así
Q es creciente en el instante t si

Q es decreciente en el instante t si

Laderivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x, x+"x] es el cociente
La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando "x!0, de la razón de cambio...
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