Calculo diferencial

INTRODUCCION

Con el desarrollo del presente trabajo colaborativo, se pretende dar aplicación a los conceptos obtenidos mediante el estudio de las unidades uno y Dos del programa académico de cálculo diferencial.

El propósito principal de este trabajo es mostrar cómo se puede usar las series y sucesiones en matemáticas, además de permitir un acercamiento al concepto de límites que sedesarrollara en la siguiente unidad, por lo cual es indispensable a manera de introducción, asimilar estos conocimientos con el objetivo de entrar a la temática de límites con unos elementos cognitivos mínimos.

En el presente taller se desarrollaran los ejercicios propuestos por el tutor, con la finalidad de abordar de manera práctica los conceptos de sucesiones y progresiones.

TRABAJOCOLABORATIVO N° 1

Cada pregunta se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utilizado.

FASE 1

1. HALLAR LOS 6 PRIMEROS TÉRMINOS DE LA SIGUIENTE SUCESIÓN:

a. Un = (n – 1) n - 2 n ≥ 2

Identificamos los primeros términos así: {3, 4, 5, 6, 7, 8}

U2 = (2 – 1) 2 - 2 2 ≥ 2 dedonde: U3 = 22

U3 = (3 – 1) 3 - 2 3 ≥ 2 de donde: U3 = 33

U4 = (4 – 1) 4 - 2 4 ≥ 2 de donde: U4 = 44

U5 = (5 – 1) 5 - 2 5 ≥ 2 de donde: U5 = 55

U6 = (4 – 1) 4 - 2 4 ≥ 2 de donde: U4 = 33

U7 = (7 – 1) 7 - 2 7 ≥ 2 de donde: U7 = 77

Entonces decimos que Un = {22, 33, 44, 55, 66, 77}

b. Vn = (3n / n+1) n ≥ 1

Identificamos los primeros términos así: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

V1 = (3 x 1 / 1 +1) 1 ≥ 1 de donde decimos: V1 = 3/2

V2 = (3 x 2 / 2 +1) 2 ≥ 1 de donde decimos: V2 = 6/3

V3 = (3 x 3 / 3 +1) 3 ≥ 1 de donde decimos: V3 = 9/4

V4 = (3 x 4 / 4 +1) 4 ≥ 1 de donde decimos: V4 = 12/5

V5 = (3 x 5 / 5 +1) 5 ≥ 1 de donde decimos: V5 = 15/6V6 = (3 x 6 / 6 +1) 6 ≥ 1 de donde decimos: V6 = 18/7

Entonces decimos que Vn = {3/2, 6/3, 9/4, 12/5, 15/6, 18/7}

2. IDENTIFICAR EL TÉRMINO GENERAL DADOS EL PRIMER TÉRMINO Y LA RELACIÓN DE RECURRENCIA.

a. U0 = −1 ; Un = Un - 1 – 3

Decimos que:

Un = {-1, -4, -10, -13…}

Por lo tanto

Un = {-3n + 2}

b. U0 = −1 ; Un = Un - 1 / 3

Decimos que:

Un = {-1,-1/3, -1/9, -1/27, -1/81…}

Por lo tanto

Un = ((-1) /(3n – 1))

3. SUCESIONES MONÓTONAS. DEMOSTRAR QUE Wn = {n / 2n + 1} ES ESTRICTAMENTE CRECIENTE.

Decimos que: la sucesión es estrictamente creciente si cada uno de los términos son mayores que el anterior, es decir; Un + 1 – Un > 0

Wn = {1/3, 2/5, 3/7, 4/9…}

Por lo tanto el termino {n / 2n + 1} de la sucesión esestrictamente creciente.

4. Demostrar que es Xn = {1/n2} es estrictamente decreciente.

Decimos que: la sucesión es estrictamente decreciente si; Un + 1 – Un < 0

Xn = {1, ½2, 1/32, ¼2…}

Por lo tanto el término {1/n2} de la sucesión es estrictamente decreciente.

5. SUCESIONES ACOTADAS.

Hallar la mínima cota superior de la sucesión: Vn = {2n + 1/n}n ≥ 1

Decimos que;

Vn =(3, 5/2, 7/3, 9/4…)

Es una sucesión acotada por que tiende 2 cuando n es ∞

Por lo tanto la mínima cota superior es 3

6. DETERMINAR SI ES ACOTADA Y HALLAR LA COTA SUPERIOR E INFERIOR: [pic]

Para establecer si esta sucesión es acotada se debe mostrar que esta, tiene cota superior e inferior, por tanto:

Para n=2, 3,4,5… tenemos [pic]

La sucesión tiene como máxima cota superior4/3 y como mínima cota inferior a 1/3, por lo tanto la sucesión es acotada.

7. determinar las cotas superior e inferior de [pic]

Definiendo algunos términos de la sucesión:

n= 1; [pic]=1/2
n= 2; [pic]=1/2
n= 3; [pic]=3/8
n= 4; [pic]=1/4
n= 5; [pic]=5/32

[pic]

La mínima cota superior M= ½

La máxima cota inferior N= 0 , porque a medida que n crece la sucesión tiende a...