Calculo diferencial

CALCULO DIFERENCIAL. JUAN GUILLERMO ARANGO. GRUPO GNOMON

CAPITULO I: DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO
OBJETIVOS  Resolver desigualdades con una variable y representar su solución en la recta numérica o empleando la notación de intervalos.  Resolver desigualdades que involucren valor absoluto.  Modelarsituaciones problemas en términos de desigualdades.  Clasificar cierta cantidad de datosacerca de una medida de acuerdo a una relación de orden, para luego interpretar en el lenguaje habitual su significado.  Identificar en las relaciones de orden las diferentes jerarquías que se dan en ciertas organizaciones sociales.

DIAGNÓSTICO

Para éste capítulo es fundamental que el estudiante logre resolver ecuaciones en una variable; que sepa factorizar y conozca muy bien la recta real.Con el diagnóstico observaremos si esto ocurre.

1. Resolver para la letra indicada: (a)

S

a  rl ; r 1 r

(b)

x2  1; x x2
g 4 2 t2 ; t

(c)

x2  0; x2

x

(d)

x2  2; x x2

(e)

(f)

A  2r r  h; r

2. Señalar en la recta de números reales y representar el conjunto con la notación de intervalo.

x / x0 x / x  3

3. Efectuar aplicandoproductos notables

x 2  3x  42

6 5 2 4. Factorice lo máximo: a) x  5 x  81x  405 x

1

CALCULO DIFERENCIAL. JUAN GUILLERMO ARANGO. GRUPO GNOMON b) 4 x 2  a 2  y 2  4 xy  2ab  b 2 5. Obtener el conjunto solución completando el cuadrado:

3x 2  2 x  6  0
6. Resolver

x2 
2

5x  1  0 por la fórmula cuadrática 3
1

7. Resolver 8. Resolver

2 x 3  5x 3  3  0
2x 3  x  2  2  0

1.1 LA RECTA REAL Para representar el conjunto de los números reales usamos un sistema de coordenadas que se llama la recta real. El número real que le corresponde a un único punto en particular de la recta real se llama la coordenada de este punto. El punto de la recta que corresponde al cero se llama origen de la recta real. A la izquierda del origen se ubica los númerosnegativos y a la derecha los números positivos.

1.2

DESIGUALDADES O INECUACIONES

En esta unidad analizaremos una nueva propiedad de los números reales y es la que “EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ES ORDENADO”. Esto significa que si sobre una línea recta colocamos dos números “a” y “b”, tales que “a” está a la izquierda de “b”, esto significa que “a” es menor que “b” ó que “b” es mayorque “a”.

Para introducir este concepto de orden, se han creado una serie de símbolos así: >Mayor que  x > y (se lee: x es mayor que y) < Menor que  x < y (se lee: x es menor que y)  Mayor o igual que  x > y (se lee: x es mayor o igual que y) < Menor o igual que  x < y (se lee: x es menor o igual que y)

2

CALCULO DIFERENCIAL. JUAN GUILLERMO ARANGO. GRUPO GNOMON A estos símbolos se lellaman signos de desigualdad y a las expresiones

algebraicas que contengan estos símbolos se les llaman DESIGUALDADES y sus soluciones se representan en forma de intervalos. (Ej. x + 5 > 4, x2< 6, 2 > x2 + 4)

Si escribimos x < 4, queremos indicar que x está a la izquierda de 4 en la recta numérica. Y si escribimos x > 3, queremos indicar que x está a la derecha de 3 en la recta numérica.1.2.1 Propiedades de las desigualdades. El álgebra para operar las desigualdades es la misma que se utiliza en las expresiones algebraicas conocidas hasta el momento. La única diferencia radica en que, si multiplicamos ó dividimos ambos miembros de una desigualdad por un mismo número NEGATIVO, la desigualdad CAMBIA de sentido. Ejemplo 1.  3x  12 

 3x 12   x  4 3 3

1. Si a < b,entonces a +c < b+ c
2. Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d Reglas de las Desigualdades 3. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc 4. Si a < b y c < 0, entonces ac > bc

5. Si 0 < a < b, entonces 1/a > 1/b

Regla 1: Si tengo una desigualdad y le sumo una misma cantidad en ambos miembros de la desigualdad, el sentido de la desigualdad no cambia. 410 17+5>10+5 22 > 15 4+ (-2) 2 9> 5 + ó 7< 1 + 5<...