Calculo Diferencial

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.
El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en concreto elcaso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.
Desde el punto devista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentesde la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.
La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.

Historia del calculo difencial
El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e ydos variables relacionadas por la ecuación y = f ( x ), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x, de un valor x 0 a x 0 + h, produce un incremento k en la y que pasa de y 0 = f ( x 0 ) a y 0 + k = f ( x 0 + h ), por lo que k= f ( x 0 + h ) - f ( x 0 ). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x 0 a x 0 + h. La gráfica de la función y = f ( x ) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = ( x 0 , y 0 ) y B = ( x 0 + h, y 0 + k ) en esta curva; esto se muestra en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ánguloBAC.

Si h tiende hacia 0, para un x 0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantáneo de la y en x 0 ; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f ( x ), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT , en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. Así, se define la derivada f '( x 0 ) de la función y = f ( x) en x 0 como el límite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:



Este valor representa la magnitud de la variación de y y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada representa la velocidad instantánea. Valores positivos, negativos y nulos de f '( x 0 ) indican que f ( x ) crece, decrece o es estacionariarespectivamente en x 0 . La derivada de una función es a su vez otra función f '( x ) de x, que a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f ( x ) = x 2 (parábola), entonces



por lo que k/h = 2 x 0 + h, que tiende hacia 2 x 0 cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x 0 es por tanto 2 x 0 , y la derivada de f ( x ) = x 2 es f '( x ) = 2 x. De manera similar, laderivada de x m es mx m-1 para una m constante. Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas (véase la tabla adjunta con algunos ejemplos).



Para calcular la derivada de una función, hay que tener en cuenta unos cuantos detalles: primero, se debe tomar una h muy pequeña (positiva o negativa), pero siempre distinta de cero. Segundo, no toda función f tiene una derivada...